高中数学 1.3.2奇偶性学案 新人教A版必修.doc

高中数学 1.3.2奇偶性学案 新人教A版必修.doc

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1、1.3.2 奇偶性[学习目标] 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法,了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.[知识链接]1.关于y轴对称的点的坐标,横坐标互为相反数,纵坐标相等;关于原点对称的点的坐标,横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数.2.如图所示,它们分别是哪种对称的图形?答案 第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形,第二个和第三个图形为轴对称图形.3.观察函数f(x)=x和f(x)=的图象(如图),你能发现两个函数图象有什么共同特征吗?答案 图象关于原点对称.[预习导引]1.偶函数(1)定义:

2、对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.(2)图象特征:图象关于y轴对称.2.奇函数(1)定义:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.(2)图象特征:图象关于原点对称.3.奇偶性的应用中常用到的结论(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则必有f(0)=0.(2)若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上是增函数,且有最小值-M.(3)若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则有f(x)在(0,+∞)上是增函数.解决

3、学生疑难点  要点一 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=2-

4、x

5、;(2)f(x)=+;(3)f(x)=;(4)f(x)=解 (1)∵函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2-

6、-x

7、=2-

8、x

9、=f(x),∴f(x)为偶函数.(2)∵函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)∵函数f(x)的定义域为{x

10、x≠1},不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.(4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原

11、点对称.当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.规律方法 判断函数奇偶性的方法:(1)定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性.(2)图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段

12、说明f(-x)与f(x)的关系,只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时,才能判定函数的奇偶性.跟踪演练1 (1)下列函数为奇函数的是(  )A.y=

13、x

14、B.y=3-xC.y=D.y=-x2+14(2)若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是(  )A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案 (1)C (2)A解析 (1)A、D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,而C项中函数为奇函数.(2)∵f(x)=ax2+bx+c是偶函数,∴f(-x)=f(x),得b=0.∴g(x)=ax3+cx.

15、∴g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数.要点二 利用函数奇偶性研究函数的图象例2 已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如下图所示,则使函数值y<0的x的取值集合为________.答案 (-2,0)∪(2,5)解析 因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如下图所示.由图象知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).规律方法 给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象,根据奇函数的图象关于原点

16、对称,偶函数的图象关于y轴对称,可以作出函数在y轴另一侧的图象.作对称图象时,可以先从点的对称出发,点(x0,y0)关于原点的对称点为(-x0,-y0),关于y轴的对称点为(-x0,y0).跟踪演练2 设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是________________________.答案 {x

17、-5≤x<-2,或2<x≤5}解析 由于偶函数的图象关于y轴对称,所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解.∵当x∈[0,5]时,f(x)<0的解为2<x≤5,所以当x∈[-5,0]时,f

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