高中数学 1.3.3等比数列的前n项和1学案 北师大版必修.doc

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1、第3课时　等比数列的前n项和知能目标解读1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q≠1这两种情况.3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.重点难点点拨重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.学习方法指导1.等比数列的前

2、n项和公式（1）设等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为na1　　　　　(q=1)Sn=.　(q≠1)也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论.（2）等比数列{an}中，当已知a1,q(q≠1)，n时，用公式Sn=，当已知a1,q(q≠1)，an时，用公式Sn=.2.等比数列前n项和公式的推导除课本上用错

3、位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.(1)合比定理法由等比数列的定义知：==…==q.当q≠1时，=q,即=q.故Sn==.当q=1时，Sn=na1.(2)拆项法Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)当q≠1时，Sn==.当q=1时，Sn=na1.(3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n≥2)∵当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1∴S

4、n=a1+q(Sn-an)即(1-q)Sn=a1(1-qn)当q≠1时，有Sn=,当q=1时，Sn=na1.注意：(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.(2)错位相减法适用于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求{an·bn}的前n项和.3.等比数列前n项和公式的应用（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.（2）公比q是否为

5、1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q≠1的讨论.4.等比数列前n项和公式与函数的关系(1)当公比q≠1时，令A=，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.(2)当q≠1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q

6、=1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.知能自主梳理1.等比数列前n项和公式（1）等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时，Sn==;当q=1时，Sn=.(2)推导等比数列前n项和公式的方法是.2.公式特点（1）若数列{an}的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q≠0,q≠1，则数列{an}为　　　　.（2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知　求.［答案］　1.（1）　　na1　(2)错位相

7、减法2.（1）等比数列　（2）三　二