高中数学 1.4.2导数应用(二)学案 新人教A版选修.doc

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1、1．4.2　导数应用(二)1．会解决生活中的优化问题．2．会利用导数解决某些实际问题．1．优化问题．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数求优化问题的步骤．(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小．最大(小)者为最大(小)值．想一想：(1)求函数最值的常用方法有哪些？(2)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________

2、．(1)解析：可以利用函数的单调性；可以利用基本不等式；可以利用导数．(2)解析：设圆锥的高为xcm，则底面半径为cm，其体积V＝πx(202－x2)(00；当

3、每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)的关系为y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年可使其营运年平均利润最大(C)　　　　　　　　　　　　　　A．2B．4C．5D．61．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是(D)A．6B．9C．9πD．6π解析：因为S′＝2πr，所以S′(3)＝2π×3＝6π.2．把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为(B)A．2B．4C．8D．以上都不对3．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0

4、≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(C)A．8B.C．－1D．－8解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.故选C.4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．令L′＝－0.

5、3x＋3.06＝0，得x＝10.2.∴当x＝10时，L有最大值45.6.答案：45.6万元5．有一边长分别为8与5的长方形，各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，则小盒的最大容积是(B)A．20B．18C．16D．14解析：正方形边长为x，则V＝(8－2x)·(5－2x)x＝2(2x3－13x2＋20x).V′＝4(3x2－13x＋10).V′＝0得x＝1，根据实际情况，小盒容积最大值是存在的，∴当x＝1时，容积V取得最大值18.6．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则高为(D)A.B.C.D.7．有长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地

6、面积最大值为__________．解析：设矩形长为xm，则宽为(8－x)m，矩形面积S＝x(8－x)(0＜x＜8)，令S′＝8－2x＝0得x＝4.所以Smax＝16(m2)．答案：16m28．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为________．解析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048kx2，所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0＜

7、x＜0.048)，故y′＝0.096kx－3kx2.令y′＝0，解得x＝0.032或x＝0(舍去)．当0＜x＜0.032时，y′＞0；当0.032＜x＜0.048时，y′＜0.因此，当x＝0.032时，y取得极大值，也是最大值，即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益．答案：3.2%9．如下图所示，用铁丝弯成一个上面是半圆、下面是矩形的图形，其面积为100,为使所用材料最省，矩形底宽应为多少？解析：设圆的半径为r，矩形的宽为b,铁丝长为l，则100＝＋2br，∴b＝.∴l＝π