高中数学 1.6 三角函数模型的简单应用学案 新人教A版必修 .doc

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1、1.6三角函数模型的简单应用学习目标:会用三角函数解决一些简单的实际问题;体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.学习重点:三角函数的实际应用学习难点:三角函数模型的建立【学法指导】三角函数是刻画周期现象的重要模型,利用三角函数模型解决实际问题时,要注意充分依据收集的数据,画出“散点图”,观察“散点图”的特征,当“散点图”具有波浪形的特征时,可以考虑应用正、余弦函数进行拟合.一.知识导学1.三角函数的周期性y=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的周期是T=____;y=Acos(ωx+φ)(ω≠0)的周期是T=____;y=Atan(ωx+φ)(ω≠0)的周期是T=____.2.函数y

2、=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的性质(1)ymax=,ymin=.(2)A=,k=.(3)ω可由确定,其中周期T可观察图象获得.(4)由ωx1+φ=,ωx2+φ=,ωx3+φ=,ωx4+φ=,ωx5+φ=中的一个确定φ的值.3.三角函数模型的应用二.探究与发现【探究点一】利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中,周期现象广泛存在.潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换,甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型.利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下:(1)收集数据,画出“散点图”;(2)观察“散点图”,

3、进行函数拟合,当散点图具有波浪形的特征时,便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决;(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的,需要具体情况具体分析.例如,如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.根据图象可知,一天中的温差是;这段曲线的函数解析式是y=.【探究点二】三角函数模型在物理学中的应用在物理学中,当物体做简谐运动时,可以用正弦型函数y=Asin(ωx+φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律,其中:(1)A称为简谐运动的振幅,它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移;(2)T=称为简谐运动的周期,它表示物体往复运动一次所需的时间;(3

4、)f==称为简谐运动的频率,它表示单位时间内物体往复运动的次数.例如,一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,小球来回摆动时,离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是:s=6sin.(1)画出它的图象;t012πt+π2π2π+6sin360-603(2)回答以下问题:①小球开始摆动(即t=0),离开平衡位置是多少?②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少?③小球来回摆动一次需要多少时间?【典型例题】例1.(1)作出函数y=

5、cosx

6、的图象,判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.(2)作出函数y=sin

7、x

8、的图象并判断其周期性.跟踪训练1。求下列函数的周期:

9、(1)y=

10、sin2x

11、;(2)y=;(3)y=

12、tan2x

13、.例2.交流电的电压E(单位:伏)与时间t(单位:秒)的关系可用E=220sin来表示,求:(1)开始时的电压;(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔;(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间.跟踪训练2。下图表示电流I与时间t的函数关系式:I=Asin(ωt+φ)在同一周期内的图象.(1)据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式;(2)为使I=Asin(ωt+φ)中t在任意一段的时间内电流I能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值是多少?例3.某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,下面是水深

14、数据:t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似的看成正弦函数模型y=Asinωt+B的图象.(1)试根据数据表和曲线,求出y=Asinωt+B的解析式;(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)小结 确定函数关系式y=Asinωt+B(A>0),就是确定其中的参数A,ω,B等,可从所

15、给的数据中寻找答案.由于函数的最大值与最小值不是互为相反数,若设最大值为M,最小值为m,则A=,B=.跟踪训练3。设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象

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