决战2020年高考数学压轴题（理）10.docx

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1、决战高考压轴题1012．已知函数f（x）＝（ex﹣1）2﹣

2、ex﹣1

3、+k恰有1个零点，则k的取值集合是（　　）A．{k

4、k＜0}B．{k

5、0＜k＜14}C．{14}D．{0}【答案】A【解析】函数f（x）＝（ex﹣1）2﹣

6、ex﹣1

7、+k恰有1个零点，即f（x）＝

8、ex﹣1

9、2﹣

10、ex﹣1

11、+k恰有1个零点，也就是方程

12、ex﹣1

13、2﹣

14、ex﹣1

15、+k＝0有一个根，令t＝

16、ex﹣1

17、，则方程化为t2﹣t+k＝0．作出函数t＝

18、ex﹣1

19、的图象，要使方程

20、ex﹣1

21、2﹣

22、ex﹣1

23、+k＝0有一个根，则方程t2﹣t+k＝0有根的情况为：①两

24、相等0根，该种情况不存在；②两相等大于等于1的根，该种情况也不存在；③一根大于等于1，而另一个小于0，此时(-1)2-4k＞002-0+k＜012-1+k＜0，解得k＜0．∴k的取值集合是{k

25、k＜0}．故选：A．16．过双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线的垂线l，垂足为M，l与y轴交于点P，若FM→=λMP→，且双曲线的离心率为3，则λ的值为　　．【答案】2【解析】设F（c，0），则c2＝a2+b2∵双曲线C：x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y＝±bax，∴垂线FM的斜率为-ab，∴直线FM的方程为y

26、=-ab（x﹣c），令x＝0，得P的坐标（0，acb），设M（x，y），∵

27、FM

28、＝λ

29、PM

30、，∴（x﹣c，y）＝λ（﹣x，acb-y），∴x﹣c＝﹣λx且y=λacb-4y，即x=cλ+1，y=λac5b，代入y=bax，得λac(λ+1)b=ba⋅cλ+1，即λa2＝b2，∴λa2＝c2﹣a2，∴（λ+1）a2＝c2，∴λ+1a＝c，∵e=3，∴λ＝2，故答案为：2．22．已知函数f（x）＝ex﹣2ax﹣2a，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝0处的切线垂直于y轴，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求实

31、数a的取值范围，并证明：（x1+1）（x2+1）＜1．【解析】（Ⅰ）f'（x）＝ex﹣2a，f'（0）＝1﹣2a＝0，∴a=12，∴f'（x）＝ex﹣1，令f'（x）＝0⇒x＝0，f'（x）＞0⇒x＞0，f'（x）＜0⇒x＜0，∴f（x）的极小值为f（0）＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）有两个零点x1，x2，必须有a＞0且最小值f（ln2a）＝eln2a﹣2aln2a﹣2a＝﹣2aln2a＜0，∴ln2a＞0，∴2a＞1，∴a＞12，又∵当x→+∞时，h（x）→+∞；当x→﹣∞时，h（x）→+∞，∴a＞12，此时f'(x1)=ex1-2

32、ax1-2a=0，f'(x2)=ex2-2ax2-2a=0，∴ex1=2a(x1+1)，ex2=2a(x2+1)，∴ex1+x24a2=(x1+1)(x2+1)，要证：（x1+1）（x2+1）＜1，即证：ex1+x24a2＜1，即证：ex1+x2＜4a2，即证：x1+x2＜2ln2a，即证：x1＜2ln2a﹣x2，不妨设x1＜x2，∴x1＜ln2a＜x2，∴x1＜2ln2a﹣x2＜ln2a，即证：h（x1）＞h（2ln2a﹣x2），即证：h（x2）＞h（2ln2a﹣x2），令g（x）＝（ex﹣2ax﹣2a）﹣[e2ln2a﹣x﹣2a（2

33、ln2a﹣x）﹣2a]＝ex﹣e2ln2a﹣x﹣4ax﹣4aln2a（x＞ln2a），g'(x)=ex+e2ln2a-x-4a=ex+4a2ex-4a≥24a2-4a=0，当且仅当x＝ln2a时取“＝”，∴g（x）在（ln2a，+∞）上为增函数，∴g（x）＞g（ln2a）＝0，∴h（x2）＞h（2ln2a﹣x2）成立，∴（x1+1）（x2+1）＜1成立．