决战2020年高考数学压轴题(理)05.docx

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1、决战高考压轴题0512.已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=12f(x+2),且当x∈[0,2)时,f(x)=﹣x2+2x.设f(x)在[2n﹣2,2n]上的最大值为an(n∈N*),且数列{an}的前n项和为Sn.若对于任意正整数n不等式k(Sn+1)≥2n﹣9恒成立,则实数k的取值范围为(  )A.[0,+∞)B.[132,+∞)C.[364,+∞)D.[764,+∞)【答案】C【解答】解:当x∈[0,2)时,f(x)=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1,则fmax(x)=1.又∵设f(x)在[2n﹣2,2n)

2、上的最大值为an,∴a1=1,又∵f(x+2)=2f(x),则f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为f(x)在[2n﹣4,2n﹣2)上的最大值的2;∴an=2an﹣1,数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列;∴数列{an}的前n项和为Sn=1×(1-2n)1-2=2n﹣1;∴k(Sn+1)≥2n﹣9恒成立⇒k≥2n-9sn+1=2n-92n恒成立;记{2n-92n}为数列{bn},∵2(n+1)-92n+1-2n-92n=11-2n2n+1;当n≤5时,2(n+1)-92n+1-2n-92n>0,即数列{bn}递增;当n

3、>5时,2(n+1)-92n+1-2n-92n<0,即数列{bn}递减;且b5=125=132,b6=326=364>132;∴数列{bn}的最大值为:364.故实数k的取值范围为:[364,+∞).故选:C.16.已知椭圆C:x26+y22=1的左右焦点分别为F1,F2,如图AB是过F1且垂直于长轴的弦,则△ABF2的内切圆方程是  .【答案】(x+43)2+y2=49.【解答】解:设△ABF2内切圆的半径为r,椭圆的方程为x26+y22=1,其中a=6,b=2,c=a2-b2=2,则

4、F1F2

5、=2c=4,AB与x轴垂直,则

6、有

7、AF2

8、2﹣

9、AF1

10、2=16,

11、AF1

12、+

13、AF2

14、=2a=26,解得:

15、AF1

16、=63,

17、AF2

18、=563,△ABF2的周长l=

19、AF2

20、+

21、BF2

22、+

23、AB

24、=1063+263=46,其面积S=12×

25、AB

26、×

27、F1F2

28、=12×263×4=463,由内切圆的性质可知,有12r×46=463,解得r=23.∴圆心横坐标为﹣2+23=-43,即圆心坐标为(-43,0),则△ABF2的内切圆方程是(x+43)2+y2=49,故答案为:(x+43)2+y2=49.22.已知函数f(x)=a2x2+cosx(a∈R),f'(x

29、)是f(x)的导数.(1)当a=1时,令h(x)=f'(x)﹣x+lnx,h'(x)为h(x)的导数,证明:h'(x)在区间(0,π2)存在唯一的极小值点;(2)已知函数y=f(2x)-23x4在[0,π2]上单调递减,求a的取值范围.【解析】(1)a=1时,h(x)=lnx﹣sinx,x>0,h'(x)=1x-cosx,令g(x)=1x-cosx,则g'(x)=-1x2+sinx,当x∈(0,12π)时,g′(x)单调递增,且g′(1)<0,g'(12π)>0,故g′(x)在(0,12π)上有唯一的零点,设为a,当x∈(0,a

30、)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(a,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,故g(x)在(0,12π)上有唯一的极小值点即h′(x)在(0,12π)上有唯一的极小值点,(2)设k(x)=x﹣sinx,x≥0,k′(x)=1﹣cosx≥0,所以k(x)在(0,+∞)上单调递增,k(x)≥k(0)=0,即x≥sinx,从而sin2x≤2x,因为y=f(2x)-23x4在[0,π2]上单调递减,所以m(x)=2ax﹣sin2x-43x3≤0在[0,π2]上恒成立,令p(x)=m′(x)=2a﹣2cos2x﹣4x2,

31、则p′(x)=4sin2x﹣8x=4sin2x﹣4×(2x)≤0,所以m′(x)在[0,π2]上单调递减,m′(x)max=2a﹣2,当a≤1时,m′(x)≤0,m(x)在[0,π2]上单调递减,m(x)≤m(0)=0,符合题意;当a>1时,m′(x)在[0,π2]上单调递减,且m′(0)=2a﹣2>0,所以一定存在x0∈(0,12π),当0≤x<x0时,m′(x)>0即m(x)在[0,x0)上单调递增,m(x0)>m(0)=0与题意不符合,舍去.故a的范围(﹣∞,1].

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