决战2020年高考数学压轴题（理）04.docx

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1、决战高考压轴题0412．已知函数f(x)=42+2x-1的图象与g（x）＝2sinπx的图象在[﹣8，10]有k个交点，分别记作（x1，y1），（x2，y2），…，（xk，yk），则i=1k(xi+yi)=（　　）A．9B．10C．19D．20【答案】C【解答】解：f(x)=42+2x-1，其定义域为R，该函数在R上为减函数，又f（1+x）+f（1﹣x）=42+21+x-1+42+21-x-1=21+2x+2⋅2x2x+1-2=2(1+2x)1+2x-2=0，∴f（x）的图象关于（1，0）对称；又g（x）＝2sinπx的周期T=2ππ=2，且g（1）＝0，∴g（

2、x）的图象也关于（1，0）对称，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图，在[﹣8，10]内有9个周期，故i=1k(xi+yi)=9×2+1＝19．故选：C．16．已知f(x)=x3-2x2-5，x＜04x+2019，x≥0，则不等式f(x+72)＜8f(x2)的解集为　．　【答案】{x

3、x＜﹣1或x＞2}【解答】解：因为x＜0时，f（x）＝x3﹣2x2﹣5，则f′（x）＝3x2﹣4x＝x（3x﹣4）＞0，即此时函数单调递增，又因为y＝4x+2019在x≥0时单调递增，且在端点0处﹣5＜42019，因为f(x+72)＜8f(x2)，当x+72＜0时，不等式显然成立，

4、此时x＜-72；当x+72≥0时，可得4x+2019+72＜8×4x2+2019，所以2x+2×2019+7＜3+2x2+2×2019，整理可得，x2﹣x﹣2＞0，解可得，x＞2或x＜﹣1此时x＞2或-72≤x＜-1，综上可得，不等式的解集为{x

5、x＜﹣1或x＞2}．故答案为：{x

6、x＜﹣1或x＞2}．22．已知函数f（x）＝x﹣ln（x﹣a）﹣a（x∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）判断方程f（x）＝a在[e﹣a+a，ea+a]上的实根个数；【解析】解：（1）f'(x)=1-1x-a=x-a-1x-a(x＞a)，∴当x∈（a，a+1）时，f′（x）＜0

7、，f（x）是减函数；当x∈（a+1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．（2）由（1）知，f（x）≥f（a+1）＝1，由ea+a≥e﹣a+a得a≥0，①当a＝0时，由f（x）≥1可知，f（x）＝0在[e﹣a+a，ea+a]上没有实根；②当0＜a＜1时，由f（x）≥1可得f（x）＝a在[e﹣a+a，ea+a]上没有实根；③当a＝1时，由a+1∈[e﹣a+a，ea+a]可知，f（x）＝a在[e﹣a+a，ea+a]上有一个实根a+1；④当a＞1时，由（1）可知，f（x）在[e﹣a+a，a+1]是减函数，在（a+1，ea+a]是增函数，由f（a+1）＝1＜a，f

8、（e﹣a+a）＝e﹣a+a+a﹣a＝e﹣a+a＞a，可得f（x）＝a在[e﹣a+a，a+1]上有一个实数根，又f（ea+a）＝ea+a﹣a﹣a＝ea﹣a，设g（a）＝ea﹣2a（a＞1），则g′（a）＝ea﹣2＞0，∴g（a）在（1，+∞）是增函数，∴g（a）＞g（1）＝e﹣2＞0，∴ea﹣2a＞0，ea﹣a＞a，∴f（x）＝a在（a+1，ea+a]上有一个实数根；综上可得，当0≤a＜1时，f（x）＝a在[e﹣a+a，ea+a]上没有实根；当a＝1时，f（x）＝a在[e﹣a+a，ea+a]上有1个实数根；当a＞1时，f（x）＝a在[e﹣a+a，ea+a]上有2个

9、实数根．