决战2020年高考数学压轴题（理）01.docx

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1、决战高考压轴题0112．如图，在平面四边形ABCD中，满足AB＝BC，CD＝AD，且AB+AD＝10，BD＝8．沿着BD把ABD折起，使点A到达点P的位置，且使PC＝2，则三棱锥P﹣BCD体积的最大值为（　　）A．12B．122C．1623D．163【答案】C【解析】过点P作PE⊥BD于E，连结CE，由题意知△BPD≌△BCD，CE⊥BD，且PE＝CE，∴BD⊥平面PCE，∴VP﹣BCD＝VB﹣PCE+VD﹣PCE=13S△PCE⋅BD=83S△PCE，∴当S△PCE最大时，VP﹣BCD取得最大值，取PC的中点F，则EF⊥P

2、C，∴S△PCE=12PC•EF=PE2-1，∵PB+PD＝10，BD＝8，∴点P到以BD为焦点的椭圆上，∴PE的最大值为对应短半轴长，∴PE最大值为52-42=3，∴S△PCE最大值为22，∴三棱锥P﹣BCD体积的最大值为1623．故选：C．16．已知抛物线C：y2＝4x，点P为抛物线C上一动点，过点P作圆M：（x﹣3）2+y2＝4的切线，切点分别为A，B，则线段AB长度的取值范围为　　．【答案】[22，4）【解析】如图：连接PM，PA，PB，易得MA⊥PA，MB⊥PB，PM⊥AB，所以四边形PAMN的面积为：12PM，•

3、AB，另外四边形PAMB的面积为三角形PAM面积的两倍，所以12

4、PM

5、•

6、AB

7、＝

8、PA

9、•

10、MA

11、，所以

12、AB

13、=2

14、PA

15、⋅

16、MA

17、

18、PM

19、=4

20、PM

21、2-4

22、PM

23、=41-4

24、PM

25、2，所以当

26、PM

27、取得最小值时，

28、AB

29、最小，设点P（x，y），则

30、PM

31、=(x-3)2+y2=x2-2x+9，所以x＝1时，

32、PM

33、取得最小值为：22，所以AB的最小值为：41-48=22．当P向无穷远处运动时，

34、AB

35、的长度趋近于圆的直径，故

36、AB

37、的取值范围是[22，4）．故答案为：[22，4）．22．已知函数f（x）＝lnx﹣x2

38、+ax（a∈R）．（1）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；（2）设函数f（x）的极值点为x0，当a变化时，点（x0，f（x0））构成曲线M．证明：过原点的任意直线y＝kx与曲线M有且仅有一个公共点．【解析】（1）由x＞0可得f（x）≤0恒成立等价为a≤x-lnxx恒成立．设g（x）＝x-lnxx，g′（x）＝1-1-lnxx2=x2-1+lnxx2，再令h（x）＝x2﹣1+lnx，则h′（x）＝2x+1x＞0，则h（x）在（0，+∞）递增，又h（1）＝0，则0＜x＜1，h（x）＜0，x＞1，h（x）＞0，即0＜x＜1时，

39、g′（x）＜0；x＞1时，g′（x）＞0，可得g（x）在（0，1）递减；在（1，+∞）递增，即有g（x）在x＝1处取得极小值，即最小值g（1）＝1，所以a≤1；（2）证明：由（1）可得f（x0）＝lnx0﹣x02+ax0，f′（x0）＝0，即1x0-2x0+a＝0，即a＝2x0-1x0，所以f（x0）＝lnx0+x02﹣1，可得曲线M的方程为y＝lnx+x2﹣1，由题意可得对任意实数k，方程lnx+x2﹣1＝kx有唯一解．设h（x）＝lnx+x2﹣kx﹣1，则h′（x）=1x+2x﹣k=2x2-kx+1x，①当k≤0时，h′

40、（x）＞0恒成立，h（x）在（0，+∞）递增，由h（1）＝﹣k≥0，h（ek）＝k+e2k﹣kek﹣1＝k（1﹣ek）+e2k﹣1≤0，所以存在x0满足ek≤x0≤1时，使得h（x0）＝0．又因为h（x）在（0，+∞）递增，所以x＝x0为唯一解．②当k＞0时，且△＝k2﹣8≤0即0＜k≤22时，h′（x）≥0恒成立，所以h（x）在（0，+∞）递增，由h（1）＝﹣k＜0，h（e3）＝3+e6﹣ke3﹣1＝（e3-2）2+（22-k）e3＞0，所以存在x0∈（1，e3），使得h（x0）＝0．又h（x）在（0，+∞）递增，所以x＝

41、x0为唯一解．③当k＞22时，h′（x）＝0有两解x1，x2，设x1＜x2，因为x1x2=12，所以x1＜22＜x2，当x∈（0，x1）时，h′（x）＞0，h（x）递增；当x∈（x1，x2）时，h′（x）＜0，h（x）递减，当x∈（x2，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，可得h（x）的极大值为h（x1）＝lnx1+x12﹣kx1﹣1，因为2x12﹣kx1+1＝0，所以h（x1）＝lnx1﹣x12﹣2＜0，所以h（x2）＜h（x1）＜0，h（ek2）＝k2+e2k2-kek2-1＝（ek2-k）ek2+k2﹣1＞0，令m（

42、x）＝ex2-x，x＞22，可得m′（x）＝2x•ex2-1＞0，所以m（x）＞m（22）＞0，所以存在x0∈（x2，ek2），使得h（x0）＝0，又因为h（x）在（x2，+∞）递增，所以x＝x0为唯一解．综上可得，过原点的任意直线y＝kx与曲线M有且仅有一个公共点．