常微分方程答案一二章.doc

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1、`习题1.24.给定一阶微分方程，(1).求出它的通解；(2).求通过点的特解；(3).求出与直线相切的解；(4).求出满足条件的解；(5).绘出(2),(3),(4)中的解得图形。解：(1).通解显然为；(2).把代入得，故通过点的特解为；(3).因为所求直线与直线相切，所以只有唯一解，即只有唯一实根，从而，故与直线相切的解是；(4).把代入即得，故满足条件的解是；(5).图形如下：Word文档`5.求下列两个微分方程的公共解：解：由可得所以或，代入原微分方程满足，而代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。6.求微分方程的直线积分曲线。解：设所求

2、直线积分曲线是，则将其代入原微分方程可得所以所求直线积分曲线是或。8.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2).曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长；(5).曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。解：因为过点的切线的横截距和纵截距分别为和，故(2).；(5).。习题2.11.求下列方程的解：(2).，并求满足初值条件的特解；解：当，分离变量，得两边同时积分，得Word文档`又也是原方程的解，故的通解是由初值条件可得，故所求特解是。(4).解：当，分离变量，得两边同时积分，得又也是原方程的解，故所求通解是和(5).解：原方程可化为令，

3、则两边同时积分，得将代入，得所求通解是Word文档`(6).解：原方程可化为令，则(1)当，分离变量，得两边同时积分，得又，即也是的解，故的通解是和。将代入，得原方程的通解是和(7).解：当，分离变量，得两边同时积分，得又，即也是原方程的解，而该解可在中令得到，故所求通解是Word文档`(8).解：分离变量，得两边同时积分，得所求通解是即(9).解：原方程可化为令，则(2)当，分离变量，得两边同时积分，得(3)由原方程可得，从而。又，即也是的解，而该解可在中令得到，故的通解是。将代入，得原方程的通解是(10).解：分离变量，得Word文档`两边同时积分，得所求通解是

4、2.作适当的变量变换求解下列方程：(1).解：令，则原方程化为两边同时积分，得将代入，得原方程的通解是即(3).解：因为令，则原方程化为再令，得两边同时积分，得将代入，得原方程的通解是Word文档`(7).解：原方程可化为令，则原方程化为再令，得用分离变量法求解，得将代入，得原方程的通解是习题2.21.求下列方程的解：(5).；解：原方程可化为：(4)对应的齐次方程为，用变量分离法求得其解为。令的解为，则将其代入可得所以原方程的通解为Word文档`(8).；解：当时，原方程可化为：(5)这是未知函数为的非齐次线性方程，对应的齐次方程为，用变量分离法求得其解为。令的解

5、为，则将其代入可得所以的通解为又也是原方程的解，故原方程的通解为和(12).；解：原方程可化为：(6)这是的Bernoulli方程。当时，两边同时除以，得令，则(7)其对应的齐次方程的解为，令的解为，则将其代入可得Word文档`所以的通解为将代入，得。又也是原方程的解，故原方程的通解为和(13).；解：原方程可化为：(8)这是的Bernoulli方程，两边同时乘以，得令，则(9)其对应的齐次方程的解为，令的解为，则将其代入可得所以的通解为将代入，得原方程的通解为(16).；解：原方程两边同时对求导可得Word文档`在原方程中，当时，。故原方程等价于Cauchy问题(

6、10)由常数变易法易得的通解为，再由可得，故Cauchy问题的解为，这也是原方程的解。习题2.31.验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解：(2).；解：因为，所以故原方程是恰当方程。令函数满足，则由可得再由可得所以，故原方程的通解是(2).；解：因为，所以Word文档`故原方程是恰当方程。令函数满足，则由可得再由可得所以，故原方程的通解是2.求下列方程的解：(4).；解：原方程两边同时除以，得所以原方程的通解是(6).；解：因为，所以原方程不是恰当的。由可得积分因子，原方程两边同时乘以，得即Word文档`所以故原方程的通解是(8).；解：因为，所以原方程不是恰当的

7、。由可得积分因子，原方程两边同时乘以，得即所以此即为原方程的通解。5.试证齐次微分方程当时有积分因子。证明：齐次微分方程两边同时乘以得所以Word文档`原方程可化为。因为原方程是齐次方程，故可设令，则又因为所以从而Word文档`故是齐次微分方程当时的积分因子。习题2.41.求解下列方程：(1).；解：当时，原方程可化为令，则，两边对求导，得即又时，原方程恒不成立，所以原方程的参数形式的通解是Word文档`(3).；解：令，则，两边对求导，得所以或所以原方程的通解是和习题2.51.求解下列方程：(3).；解：原方程两边同时乘以，得令，则用常数变易法易得其解为，故原