高中数学 2.2 对函数的进一步认识名师考点精讲 北师大版必修.doc

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1、(同步课堂)2013-2014学年高中数学2.2对函数的进一步认识名师考点精讲北师大版必修1[读教材·填要点]1.函数的概念给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数,记作f:A→B,或y=f(x),x∈A.此时,x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域,集合{f(x)

2、x∈A}叫作函数的值域,习惯上称y是x的函数.2.区间与无穷的概念(1)区间:设a,b是两个实数,而且a<b,规定如下表:定义名称符号几何表示{x

3、a≤x≤b}闭区间[a,b]{x

4、a<x<b}开区间(a,b){

5、x

6、a≤x<b}左闭右开区间[a,b){x

7、a<x≤b}左开右闭区间(a,b]这里实数a,b都叫作相应区间的端点.(2)无穷大的概念及无穷区间:定义R{x

8、x≥a}{x

9、x>a}{x

10、x≤b}{x

11、x<b}符号(-∞,+∞)[a,+∞)(a,+∞)(-∞,b](-∞,b)[小问题·大思维]1.函数定义中的集合A,B一定是非空数集吗?提示:A,B一定是非空数集,否则构不成集合A到B的函数关系.2.函数定义中对集合A中元素有什么要求?对B中元素有同样要求吗?提示:对集合A中元素有两个要求,其一,全部参与对应,其二,每个元素在B中对应的元素唯一;而对B中元素没此要求.3.试分析构成函数有几个要素?提

12、示:三个要素:对应关系f,定义域A和值域{f(x)

13、x∈A}.[研一题][例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=,g(x)=;(2)f(x)=()2,g(x)=;(3)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1.[自主解答] (1)由于f(x)==

14、x

15、,g(x)==x,故它们的对应关系不相同,所以它们不表示同一函数.(2)由于函数f(x)=()2的定义域为{x

16、x≥0},而g(x)=的定义域为{x

17、x∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(3)两个函数的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.[悟一法]函数由定义域,值域和对应法则三要素构成.其

18、中值域由定义域和对应法则确定,因此只要定义域和对应法则相同就表示同一函数.[通一类]1.下列各组函数是否表示同一个函数?(1)f(x)=2x+1与g(x)=;(2)f(x)=与g(x)=x-1;(3)f(x)=

19、x-1

20、与g(x)=(4)f(n)=2n-1与g(n)=2n+1(n∈Z).解:(1)g(x)=

21、2x+1

22、,f(x)与g(x)的对应关系不同,因此是不同的函数;(2)f(x)=x-1(x≠0),f(x)与g(x)的定义域不同,因此是不同的函数;(3)f(x)=f(x)与g(x)的定义域相同,对应关系相同,因此是相同的函数;(4)f(x)与g(x)的定义域和对应关系都不同.因此是不同的

23、函数.[研一题][例2] (1)求函数f(x)=的定义域;(2)求函数f(x)=-+的定义域,并用区间表示.[自主解答] (1)要使f(x)有意义,需有解之得所以f(x)的定义域为:(-∞,-1)∪(-1,4];(2)要使函数f(x)=-+有意义,必须所以-≤x<2且x≠0,故函数的定义域为{x

24、-≤x<2且x≠0},区间表示为[-,0)∪(0,2).[悟一法](1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.(4)如果f(x)是由

25、几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).(5)对于由实际背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.[提醒] 定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.[通一类]2.将进货单价为8元的商品按10元1个销售时,每天可卖出100个,若这种商品的销售单价每涨1元,日销售量就减少10个,请你用解析表达式表示每天的销售利润y随销售单价x(元)变化的函数关系,并求出函数的定义域.解:根据题意,每天的销售量为[100-10(x-10)]个.则y=(x-8)[100-10(x-10)]=1

26、0(x-8)(20-x)由得10≤x≤20,所以函数的定义域为[10,20].[研一题][例3] 已知f(x)=(x∈R且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).(1)求f(2),g(2)的值;(2)求f(g(2))的值;(3)求f(x),g(x)的值域.[自主解答] (1)∵f(x)=.∴f(2)==.∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6;(2)f(g(2))=f(6)==;(3)f

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