高中数学 2.2 直线的方程 2.2.4 点到直线的距离教案 新人教B版必修.doc

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1、2.2.4点到直线的距离示范教案教学分析点到直线的距离的公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富．除了本节课探究方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法．因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离”．希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想、化归思想和分类方法，由浅入深、由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维．三维目标1．让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离，培养转化的数学思

2、想．2．引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．重点难点教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立．课时安排1课时导入新课设计1.点P(0,5)到x轴的距离是多少？更进一步，在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0，y0)，直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？教师引出课题．设计2.我们知道点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点不在直线上，当点不在直线上时，怎样求出该点到直

3、线的距离呢？教师引出课题．推进新课(1)设坐标平面上(如下图)，有点P(x1，y1)和直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．作直线m通过点P(x1，y1)，并且与直线l垂直，设垂足为P0(x0，y0)．求证：①B(x0－x1)－A(y0－y1)＝0；②C＝－Ax0－By0.(2)试求出(x1－x0)2＋(y－y0)2.(3)写出点P到直线l的距离d的计算公式．(4)写出求点P(x1，y1)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤．讨论结果：(1)证明：①设直线m的方程为Bx－Ay＋D＝0，∵P(x1，y1)在m上，

4、∴Bx1－Ay1＋D＝0，∴D＝Ay1－Bx1，∴直线m的方程为Bx－Ay＋(Ay1－Bx1)＝0，即B(x－x1)－A(y－y1)＝0.∴B(x0－x1)－A(y0－y1)＝0.②∵P0(x0，y0)在直线l上，∴P0(x0，y0)的坐标是方程Ax＋By＋C＝0的一组解，∴Ax0＋By0＋C＝0，∴C＝－Ax0－By0.(2)Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1＋(－Ax0－By0)＝A(x1－x0)＋B(y1－y0)，则[A(x1－x0)＋B(y1－y0)]2＝(Ay1＋By1＋C)2，又∵[B(x0－x1)－A(y0－

5、y1)]2＝0，∴两等式相加，得(A2＋B2)[(x1－x0)2＋(y1－y0)2]＝(Ax1＋By1＋C)2，∴(x1－x0)2＋(y1－y0)2＝.(3)求点P到直线l距离转化为求P和P0两点之间的距离的问题．由距离公式，只要列出关于x1－x0，y1－y0的两个方程，就可求出这两点的距离d.则d＝PP0＝＝.即d＝.(4)步骤：①给点的坐标赋值：x1＝？，y1＝？；②给A，B，C赋值：A＝？，B＝？，C＝？；③计算d＝；④给出d的值．思路1例1求点P(－1,2)到直线2x＋y＝5的距离d.解：将直线方程化为一般式：2x

6、＋y－5＝0.因为x1＝－1，y1＝2，A＝2，B＝1，C＝－5，所以由点到直线的距离公式，得d＝＝＝.变式训练1．求原点到直线l1：5x－12y－9＝0的距离；答案：2．求点P(－1，－2)到直线l2：x＋2y－10＝0的距离．答案：3例2(1)求证：两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离是d＝；(2)求平行线l1：12x－5y＋8＝0与l2：12x－5y－24＝0之间的距离．分析：两条平行线的距离，就是其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离．解：(1)在l1上任取一点P(x

7、1，y1)，则Ax1＋By1＝－C1.l1与l2之间的距离等于点P到l2的距离d＝＝；(2)由(1)所得公式，直线l1与l2的距离为d＝＝.即平行线l1与l2之间的距离是.点评：利用公式d＝求两平行直线间的距离时，必须将这两条直线方程化为含x与y的系数分别相等的形式，否则容易出错．变式训练1．两平行直线l1：2x－7y＋8＝0和l2：2x－7y－6＝0的距离d＝______.答案：2．两平行直线l1：3x＋5y＋2＝0和l2：6x＋10y＋8＝0的距离d＝______.答案：思路2例3求直线2x＋11y＋16＝0关于点P(

8、0,1)对称的直线方程．分析：中心对称的两条直线是互相平行的，并且这两条直线与对称中心的距离相等．解：设所求直线方程为2x＋11y＋C＝0，则＝C＝16(舍去)或C＝－38.∴所求直线为2x＋11y－38＝0.点评：解决本题的关键是明确所求直线与已知直线平行．变式训练1．已知直线l过两条直线3x＋4y