高中数学 2.2.2 反证法学案 新人教B版选修2-2.doc

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1、2.2.2　反证法1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理　反证法阅读教材P66～P67“例3”以上部分，完成下列问题．1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与________矛盾，或与某个________矛盾，从而判定__________，推出________的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与__________、定理、公式、定义或____________矛盾；(3)与______________矛盾(例如，

2、导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．【答案】　1．假设　真命题　綈q为假　q为真2．(2)数学公理　已被证明了的结论　(3)公认的简单事实1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．(　　)(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(　　)(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．(　　)【答案】　(1)√　(2)×　(3)√2．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．【解析】　∵空间中两直

3、线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．【答案】　b与c平行或相交[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]利用反证法证明否定性命题　(1)用反证法证明：“若方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为(　　)A．整数　　　　　　　B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．【

4、自主解答】　(1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.【答案】　A(2)证明：假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝，所以a＋c＋2＝4，所以a＋c－2＝0，即(－)2＝0，所以＝，从而a＝b＝c，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故，，不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面

5、比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤[再练一题]1．(2016·晋州高二检测)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．求证：数列{Sn}不是等比数列．【证明】　假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{Sn}不是等比数列．利用“反证法”“证明”“至少”“至多”等存在性命题　已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.【精彩点拨】　

6、“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．【自主解答】　假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.∵a，b，c∈(0,1)，∴1－a>0,1－b>0,1－c>0.∴≥>＝.同理>，>.三式相加得＋＋>，即>，矛盾．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x

7、0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n－1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n＋1个p且q綈p或綈q[再练一题]2．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．【证明】　假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．[探究共研型]利用反证法证明唯一性命题探究　反

8、证法解题的实质是什么？【提示】　否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．　已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．【精彩点拨】　“有且只有”表示“存在且唯一”