高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案 新人教A版必修.doc

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1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义学习目标：1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义．2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算．3．理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．学习重点：了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义学习难点：了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义一．知识导学1．向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个，这种运算叫做向量的，记作 ，其长度与方向规定如下：(1)

2、λa

3、＝.(2)λa(a≠0)的方向；特别地，当

4、λ＝0或a＝0时，0a＝或λ0＝.2．向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝.(2)(λ＋μ)a＝.(3)λ(a＋b)＝.特别地，有(－λ)a＝＝；λ(a－b)＝.3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______.4．向量的线性运算向量的、、运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝.二．探究与发现【探究点一】　向量数乘运算的物理背景(1)一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3

5、v表示，试在直线l上画出3v向量，看看向量3v与v的关系如何？(2)已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？（3)已知非零向量a，你能说明实数λ与向量a的乘积λa的几何意义吗？【探究点二】向量数乘的运算律根据实数与向量积的定义，可以验证下面的运算律：设λ，μ∈R，则有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.【探究点三】　共线向量定理及应用由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a(a≠0)与b共线，当

6、且仅当存在一个实数λ，使b＝λa.判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组)求解．若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在【探究点四】　三点共线的判定由共线向量定理可得，A，B，C三点共线⇔存在λ∈R，使＝λ.请你根据该结论证明下列常用推论：推论1：已知O为平面ABC内任一点，若A、B、C三点共线，则存在α、β∈R，使＝α＋β，其中α＋β＝1.推论2：已知O为平面ABC内任一点，若存在α，β∈R，使＝α＋β，α＋β＝1，则A、B、C三点共线．【典

7、型例题】例1　计算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．跟踪训练1　计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)－；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．例2　已知任意两个非零向量a，b，作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.试判断A、B、C三点之间的位置关系，并说明理由．跟踪训练2　已知两个非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A、B、D三点共线例3　如图

8、，▱ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，你能用a、b表示、、和吗？跟踪训练3　如图，D、E分别是边AB、AC的中点，求证：＝.三．巩固训练1．化简：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；(2).2．如图，＝，＝.求证：＝.3．已知e1与e2不共线，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线．4．若非零向量a与b不共线，ka＋b与a＋kb共线，试求实数k的值．四．课堂小结1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有

9、意义的．2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的

10、λ

11、倍．向量表示与向量a同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题.