高中数学 2.2数的扩充导学案 北师大版选修.doc

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1、数的扩充你知道数学史上的“第一次数学危机”是怎么回事吗?它与我们现在常用的哪个概念密切相关?学完本节,你会找到答案.1.“数”发展的历史顺序大体是:正整数、__________、________、____________、________、____________.2.毕达哥拉斯学派基本的信条是“__________”,他们相信任何量都可以表示成两个整数之比,给定两条线段一定有一个__________.3.我国的刘徽已经对负数有了深刻的认识,在《______》中指出负数的绝对值未必小,正数的绝对值未必

2、大.元朝的朱世杰在《__________》中第一次明确提出正负数的乘除法则.答案:1.分数 无理数 负数 零 虚数(复数)2.万物皆数 公共度量3.九章算术注 算学启蒙【例1】证明:正方形的对角线与其一边构成不可公度量.证明:如图,假设正方形的对角线与其一边构成可公度量,则二者之比为α∶β(α,β互素).根据勾股定理,有α2=2β2.这里α2为偶数,则α也必为偶数,设α=2ρ,于是α2=4ρ2=2β2,即β2=2ρ2,β2为偶数,则β也必为偶数.这与α,β互素的假设相矛盾,因此正方形的对角线与其一边不

3、可公度量.这一证明与我们今天证明为无理数的方法相同.你能收集到历史上最早的有关值的计算吗?【例2】查阅资料欣赏我国《九章算术》中有关正负数的应用.答:《九章算术》最早给出的正负数加减法则的条文如下:《九章算术》中的正负术正负术曰,同名相除,异名相益.正无入负之,负无入正之.其异名相除,同名相益.正无入正之,负无入负之.这里的“同名”“异名”就是现在的“同号”“异号”,“除”“益”分别是“减”“加”.条文的前四句说的是减法法则,大意为:两数相减时,若二数同号,则差数的绝对值等于二数绝对值的差(大减小);

4、若二数异号,则差数的绝对值为二数绝对值之和.减去的数如果是正数而大于被减数,差数为负;减去的数如果是负数而绝对值大于被减数的绝对值,差数为正.后四句说的是加法法则,大意为:两数相加时,若二数同号,则和数的绝对值等于二数绝对值之和;若二数异号,则正数的绝对值较大时,和数为正,负数的绝对值较大时,和数为负.在《九章算术》中,正、负数的加减运算法则是怎样的?【例3】查阅复数的起源,体会复数发展的曲折过程.答:复数的起源16世纪意大利米兰学者卡当(JeromeCardan1501—1576)在1545年发表的

5、《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”.他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成=40,尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无缥缈的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡儿(1596—1650),他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来.数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的

6、一片困惑,很多数学家都不承认虚数.德国数学家莱布尼茨(1646—1716)在1702年说:“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物.”瑞士数学大师欧拉(1707—1783)说:“一切形如,的数学式子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地.法国数学家达朗贝尔(1717—

7、1783)在1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是a+bi的形式(a,b都是实数).法国数学家棣莫佛(1667—1754)在1730年发现公式了,这就是著名的棣莫佛定理.欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示-1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位.“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的.挪威的测量学家成塞尔(1745—1818)在1779年试图给予这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没

8、有得到学术界的重视.德国数学家阿甘得(1777—1855)在1806年公布了虚数的图像表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数a+bi.像这样,由各点都对应复数的平面叫作“复平面”,后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算

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