高中数学 2.3等差数列的前n项和教案 新人教A版必修.doc

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1、河北省迁安一中数学必修五:2.3_等差数列的前n项和教学难点:灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.教学过程:Ⅰ.复习回顾经过前面的学习,我们知道,在等差数列中:(1)an-an-1=d(n≥1),d为常数.(2)若a,A,b为等差数列,则A=.(3)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.(其中m,n,p,q均为正整数)Ⅱ.讲授新课随着学习数列的深入,我们经常会遇到这样的问题.例:如图,一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支,这个

2、V形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V形架,这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图,看到此图,大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系,而且可以用一个式子来表示这种关系,利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么,这个V形架上共放着多少支铅笔呢?这个问题又该如何解决呢?经过分析,我们不难看出,这是一个等差数求和问题?首先,我们来看这样一个问题:1+2+3+…+100=?对于这个问题,著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果,你知道他是怎么算的吗?高斯的算法是:首项与末项的和:1+100=101,第2项与

3、倒数第2项的和:2+99=101,第3项与倒数第3项的和:3+98=101,……第50项与倒数第50项的和:50+51=101,于是所求的和是101×=5050.这个问题,它也类似于刚才我们所遇到的问题,它可以看成是求等差数列1,2,3,…,n,…的前100项的和.在上面的求解中,我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示,且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和,这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式,那么上述问题便可迎刃而解.设等差数列{an}的前n项和为Sn

4、,即Sn=a1+a2+…+an①把项的次序反过来,Sn又可写成Sn=an+an-1+…+a1②①+②2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)又∵a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=…=an+a1∴2Sn=n(a1+an)即:Sn=若根据等差数列{an}的通项公式,Sn可写为:Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]①,把项的次序反过来,Sn又可写为:Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d②],把①、②两边分别相加,得2Sn==n(a1+an)即:Sn

5、=.由此可得等差数列{an}的前n项和的公式Sn=.也就是说,等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.用这个公式来计算1+2+3+…+100=?我们有S100==5050.又∵an=a1+(n-1)d,∴Sn===na1+d∴Sn=或Sn=na1+d有了此公式,我们就不难解决最开始我们遇到的问题,下面我们看具体该如何解决?分析题意可知,这个V形架上共放着120层铅笔,且自上而下各层的铅笔成等差数列,可记为{an},其中a1=1,a120=120,n=120.解:设自上而下各层的铅笔成等差数列{a

6、n},其中n=120,a1=1,a120=120.则:S120==7260答案:这个V形架上共放着7260支铅笔.下面我们再来看一例题:等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是54?分析:先根据等差数列所给出项求出此数列的首项,公差,然后根据等差数列的求和公式求解.解:设题中的等差数列为{an},前n项为的Sn,由题意可知:a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54由等差数列前n项求和公式可得:-10n+×4=54解之得:n1=9,n2=-3(舍去)答案:等差数列-10,-6,-2,2,

7、…前9项的和是54.[例1]在等差数列{an}中,(1)已知a2+a5+a12+a15=36,求S16(2)已知a6=20,求S11.分析:(1)由于本题只给了一个等式,不能直接利用条件求出a1,a16,d,但由等差数列的性质,可以直接利用条件求出a1+a16的和,于是问题得以解决.(2)要求S11只需知道a1+a11即可,而a1与a11的等差中项恰好是a6,从而问题获解.解:(1)∵a2+a15=a5+a12=a1+a16=18∴S16==8×18=144.(2)∵a1+a11=2a6∴S11==11a6

8、=11×20=220.[例2]有一项数为2n+1的等差数列,求它的奇数项之和与偶数项之和的比.分析一:利用Sn=na1+d解题.解法一:设该数列的首项为a1,公差为d,奇数项为a1,a1+2d,…其和为S1,共n+1项;偶数项为a1+d,a1+3d,a1+5d,…,其和为S2,共n项.∴==.分析二:利用Sn=解题.解法二:由解法一知:S1=,S2=∵a1+a2n+1=a2+a2n∴=[例3]若两个等差数列的前n

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