高中数学 2.4 等比数列教案 新人教A版必修.doc

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1、河北省石家庄市第一中学高中数学2.4等比数列教案新人教A版必修5教学过程：举例：①1，2，4，8，16，…；　　　②；　　　　　③1，，，，…；　　　④，，，，…；　　　　　⑤…；　　　⑥．共同特点：从第二项开始，每一项与它前一项之比为同一常数，称为等比数列．一、定义及相关概念等比数列：如果一个数列，从第二项起每一项与其前一项的比等于同一个常数，则该数列称为等比数列．公比：每一项与其前一项的比为一个常数，称为等比数列的公比，一般用表示．等比中项：若成等比，则，即，称为的等比中项．等比数列中每一项是它的前一项和后一项的等比中项．注：1常数列是等差数列，且公差为0，非零常数列才是等比数列，且

2、公比为1．2任意两个数都有等差中项，且只有一个．由知，同号才有等比中项，且有两个．成等比．3，所以且（即等比数列的项和公比都不是0）．4等比数列中奇数项之间，偶数项之间符号必相同，但奇数项和偶数项不一定．二、通项公式1．不完全归纳法：　　得到：（需要证明）2．递推法：知三求二相乘等差数列我们应用的是：等比数列应用：，将等差的加减类比到等比的乘除．通项公式的推广：对任意，．时，即为通项公式．等比数列的通项公式是指数型函数．三、图象表示：等比数列的点都在的图象上．四、等差数列的性质1．等比数列的单调性：为减数列；为增数列；　　为增数列；为减数列；　　为常数列；为摆动数列．2．等比数列中，若且

3、，则必有．即角标和相等，则项的乘积相等．此规律也可推广到等号两边都是3，4…项的和．特例：若，则必有．但．3．下标成等差数列的项组成的新数列等比．（即等距离抽取子列仍等比）4．若为等比数列，则也是等比数列，公比分别为．5．等比数列公比为，则，等比，公比都是．五、应用举例1．求基本量：例1．（见课本P50　例1）例2．（见课本P51　例3）例3．等比数列，（1）已知，求．　　（2）已知，求．，（3）已知，求．　　，（4）已知，求．或（5）已知，求．（6）已知求．　　　（7）已知　求．　　2．证明等比数列：例1．（见课本P50　例3）小结：证明等比数列的方法：利用定义．　　　　　　　　　　判

4、断方法：（1）定义；（2）通项公式；（3）等比中项．3．综合应用：例1．四个数中，前三个数成等比，它们的和为19，后三个数成等差，它们的和为12，求这四个数．分析：设数的技巧：三个数等比，已知乘积，可设为；四个数等比，知其积，且公比为正数，可设为．若不知乘积则这样设不简便．解：设此四数为，则．整理得，解得．所以四个数为9，6，4，2或25，－10，4，18．例2．等差，且公差不为0，等比，且．（1）求等差数列的公差，和等比数列的公比；（2）是否存在常数，使对于一切自然数都有成立？解：（1）由题意可知，又，∴即，∴，∴．．（2）假设存在满足条件的，使，则，即对任意恒成立，由对应项系数相等，

5、得，解得．∴　存在使得对任意都成立．例3．等差，为前项和的等比中项为等差中项为1，求．解：∵等差∴∴例4．已知数列中，是它的前项和，并且，设，（1）求证：是等比数列；（2）求．解：（1）由，得，作差得即，，所以是等比数列．（2）由题，得，∴，∴．例5．在数列中，，且成等差，成等比，，求的值．解：由题意可知，∴，∴，代入，得：，∴为等差数列．设公差为．又，所以．∴．（），又符合上式，∴，．