高中数学 2.4 向量的数量积第三课时互动课堂学案 苏教版必修.doc

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1、高中数学2.5向量的应用第二课时互动课堂学案苏教版必修4疏导引导1.向量内积的坐标运算建立正交基底{e1,e2}，已知a=（a1,a2）,b=(b1,b2),则a·b=（a1e1+a2e2）(b1e1+b2e2)=a1b1e12+(a1b2+a2b1)·e1·e2+a2b2e22因为e1·e1=e2·e2=1,e1·e2=e2·e1=0,故a·b=a1b1+a2b2.疑难疏引（1）两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和，并且此式是正交基底{e1,e2}下实现的.（2）引入坐标后，实现了向量的数量积和向量坐标间运算的转化.2.用向量的坐标表示两个向

2、量垂直的条件设a=（a1,a2）,b=(b1,b2),如果a⊥b，则a1b1+a2b2=0；反之，若a1b1+a2b2=0,则a⊥b；当a⊥b时，若b1b2≠0,则向量（a1,a2）与（-b2,b1）平行，这是因为a⊥b，a1b1+a2b2=0.即a1b1=-a2b1,,两向量平行的条件是相应坐标成比例，所以（a1,a2）与（-b2,b1）平行，特别的向量k(-b2,b1)与向量（b1,b2）垂直，k为任意实数，例如向量（3，4）与向量（-4，3），（-8，6），（12，-9）……都垂直.疑难疏引设a=（a1，a2）,b=(b1，b2)a1b1+a2b

3、2=0a⊥b且a1⊥ba1b1+a2b2=0.3.向量的长度、距离和夹角公式（1）已知a=（a1,a2）,则

4、a

5、2=a2=a12+a22,即

6、a

7、=.语言描述为向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.若A(x1y2),B(x2y2),则=(x2-x1,y2-y1)

8、

9、=,此式可视为A、B两点的距离公式.（2）设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),故cos〈a,b〉=该处夹角公式是非零向量的夹角公式.活学巧用【例1】设a=（4，-3），b=（2，1），若a+tb与b的夹角为45°,求实数t的值.解析：利用a·b=

10、a

11、·

12、b

13、·cosθ建立方

14、程，解方程即可.a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3)(a+tb)·b=（4+2t,t-3）·(2,1)=5t+5.

15、a+tb

16、=由(a+tb)·b=

17、a+tb

18、·

19、b

20、·cos45°得5t+5=即t2+2t-3=0.∴t=-3或t=1，经检验t=-3不合题意，舍去，只取t=1.【例2】已知点A（2，3），若把向量绕原点O按逆时针旋转90°得向量,求点B的坐标.解析：要求点B坐标，可设为B（x,y），利用⊥,

21、

22、=

23、

24、列方程解决之.设点B坐标为（x,y），因为⊥OB，

25、

26、=

27、

28、所以有解得或(舍去)，所以B点坐标为（-3，2）.【例3

29、】已知a=（2，），b=（1，1）.求a与b的夹角θ.解析：向量坐标已知可利用夹角坐标公式解决a·b==.∴cosθ=，又0°≤θ≤180°，∴θ=60°.【例4】已知a+b+c=0,

30、a

31、=3，

32、b

33、=5，

34、c

35、=7.求〈a、b〉的值.解析：∵a+b+c=0,∴a+b=-c.∴

36、a+b

37、=

38、c

39、,∴(a+b)2=c2，即a2+2a·b+b2=c2.∴a·b=∴cos〈a,b〉=÷(3×5)=,∴〈a,b〉=.