高中数学 2.4 向量的应用学案 新人教B版必修.doc

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1、2.4　向量的应用1.会用向量法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题.(重点)2.会用向量法解决某些简单的物理学中的问题.[基础·初探]教材整理1　向量在几何中的应用阅读教材P117～P120以上内容，完成下列问题.1.直线与向量平行的条件(1)直线的斜率与向量的关系：设直线l的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(a1，a2)平行于l，可得k＝＝＝tanα.(2)平行条件：如果知道直线l的斜率k＝，则向量(a1，a2)一定与该直线平行.(3)法向量：如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线

2、.这个向量称为这条直线的法向量.2.特殊向量设直线l的一般方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与l平行.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　)(2)若∥，则直线AB与CD平行.(　　)【解析】　(1)错误.因为△ABC为直角三角形，∠B并不一定是直角，有可能是∠A或∠C为直角.(2)错误.向量∥时，直线AB∥CD或AB与CD重合.【答案】　(1)×　(2)×教材整理2　向量在物理中的应用阅读教材P121～P122以上内容，完成下列问题.1.力向量力向量与自由向

3、量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素.在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.2.速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示.已知力F＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则F对物体所做的功为________焦耳.【解析】　由已知位移＝(－4,3)，∴力F做的功为W＝F·＝2×(－4)＋3×3＝1.【答案】　1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________

4、__________________解惑：_________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：____________

5、_____________________________________________疑问4：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________[小组合作型]向量在平面几何中的应用　如图241，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且AE与CD交于点P，求证：BP⊥DC.图241【精彩点拨】　先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数

6、量积.【自主解答】　设＝λ，并设正三角形ABC的边长为a，则有：＝－，＝＋＝λ＋＝λ＋＝(2λ＋1)－λ.又＝－，∥，∴(2λ＋1)－λ＝k－k，于是有解得∴＝，∴＝＋＝＋，从而·＝·＝a2－a2－a2cos60°＝0.由向量垂直的条件知，BP⊥DC.垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量，由基底，线性表示.当然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知.[再练一题]1.如图242所示，若D

7、是△ABC内的一点，且－＝－，求证：AD⊥BC.图242【证明】　设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.∵＝＋＝d－c，∴·＝e·(d－c)＝0，∴⊥，即AD⊥BC.向量在解析几何中的应用　过点A(－2,1)，求：(1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程；(2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程.【精彩点拨】　在直线上任取一点P(x，y)，则＝(x＋2，

8、y－1)，由∥a可以得(1)，由⊥b可以得(2).【自主解答】　设所求直线上任意一点P(x，y)，∵A(－2,1)，∴＝(x＋2，y－1).(1)由题