高中数学 2.4 等比数列阅读材料—等比数列素材 新人教A版必修.doc

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1、等比数列百科名片如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).注：q=1时，{an}为常数列.简介与公式　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列就叫做等比数列(geometricsequence).这个常数叫做等比数列的公比(commonratio)，公比通常用字母q表示(q≠0).注：q=1时，{an}为常数列.　　（1）等比数列的通项公式是：an=a1qn－1等比数列通项公式　　若通项公式变形为an=·qn(

2、n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=·qn上的一群孤立的点.　　（2）求和公式：Sn=na1(q=1).　　Sn=a1(1-qn)/(1-q)　　=(a1-a1qn)/(1-q)　　=(a1-anq)/(1-q)　　=a1/(1-q)-[a1/(1-q)]·qn.　　任意两项am，an的关系为an=am·qn-m；在运用等比数列的前n项和时，一定要注意讨论公比q是否为1.　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…

3、，n}.　　（4）等比中项：aq·ap=ar2，ar则为ap，aq的等比中项.　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=an2n-1，π2n+1=.　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任意一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.　　等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列和末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项.　　等比中项公式：或者an-1·an+1=an2.　　（5）无穷递缩等比数列各项和公式：　　无穷递缩等比数列各

4、项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和.　　(6)由等比数列组成的新的等比数列的公比：　　{an}是公比为q的等比数列.　　①若A=a1+a2+…+an，　　B=an+1+…+a2n，　　C=a2n+1+…+a3n，　　则A，B，C构成新的等比数列，公比Q=qn.　　②若A=a1+a4+a7+…+a3n-2，　　B=a2+a5+a8+…+a3n-1，　　C=a3+a6+a9+…+a3n，　　则A，B，C构成新的等比数列，公比Q=q.性质　　（1）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=

5、ap·aq.　　（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.　　（3）“G是a，b的等比中项”“G2=ab（G≠0）”.（4）若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q12，q13…{can}，c是常数，{an·bn}，{}是等比数列，公比分别为q1，q1q2，.　　（5）等比数列中，连续的、等长的、间隔相等的片段和为等比数列.　　（6）若{an}为等比数列且各项为正，公比为q，则log以a为底an的对数成等差数列，公差为以a为底q的对数.　　（7）等比数列前n项之和Sn=a1(

6、1-qn)/(1-q)=a1(qn-1)/(q-1)=a1qn/(q-1)-a1/(q-1).　　注意：上述公式中qn表示q的n次方.　　（8）由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an·q/a1=qn，与它的指数函数y=ax有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列.求通项公式的方法　　（1）待定系数法：已知an+1=2an+3，a1=1，求an.　　构造等比数列an+1+x=2（an+x）.　　an+1=2an+x，∵an+1=2an+3，∴x=3.　　所以=2.　　∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以，an

7、+3=（a1+3）·qn-1=4·2n-1,an=2n+1-3.　　(2)定义法：已知Sn=a·2n+b,求an的通项公式.　　∵Sn=a·2n+b，∴Sn-1=a·2n-1+b，　　∴an=Sn-Sn-1=a·2n-1（n≥2）.应用　　等比数列在生活中也是常常运用的。　　如：银行有一种支付利息的方式—复利。　　即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，　　再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。　　按照复利计算本利和的公式：本利和=本金·(1+利率)存期.