高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案 新人教A版必修.doc

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1、第二章　平面向量2．4　平面向量的数量积2．4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义1．掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系．2．正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律．3．理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题．一、向量的数量积的概念1．已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做a与b的夹角．练习：(1)当θ＝0时，a与b同向；(2)当θ＝π时，a与b反向；(3)当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b．2．已知两个非零向量a与b，我们把数量cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)记作a·b，即a·

2、b＝cos_θ，其中θ是a与b的夹角，cos_θ叫做向量a在b方向上的投影．3．“投影”的概念：作图定义：cosθ叫做向量a在b方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ＝0时投影为；当θ＝π时投影为－.4．零向量与任意向量的数量积为0．1．向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？请完成下表.角的范围0°≤α<90°α＝90°90°<α≤180°a·b的符号解析：向量的数量积的结果是一个数量，而线性运算的结果是一个向量．影响数

3、量积大小的因素有向量各自的长度和它们之间的夹角.角的范围0°≤α<90°α＝90°90°<α≤180°a·b的符号正零负　　二、平面向量数量积的性质1．设a与b均为非空向量：(1)a⊥b⇔a·b＝0．(2)当a与b同向时，a·b＝，当a与b反向时，a·b＝－，特别地a·a＝或＝．(3)cosθ＝．(4)≤．2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影cos_θ的乘积．3．向量的数量积满足下列运算律：已知向量a，b，c与实数λ，(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(

4、3)·c＝a·c＋b·c(分配律)．2．判断正误，并简要说明理由．①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④

5、a·b

6、＝

7、a

8、

9、b

10、；⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0；⑥a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.解析：上述8个命题中只有①③⑧正确．对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0.对于②：应有0·a＝0.对于④：由数量积定义有

11、a·b

12、＝

13、a

14、·

15、b

16、·

17、cosθ

18、≤

19、a

20、

21、b

22、，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时

23、，才有

24、a·b

25、＝

26、a

27、

28、b

29、.对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b＝0.对于⑥：由a·b＝0可知a⊥b可以都非零．对于⑦：若a与c共线，记a＝λc.则a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，∴(a·b)·c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a.若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知向量a＝(2，－3)，b＝(－5，8)，则(a＋b)·b等于(C)A．－34B．34C．55D．－55解析：a＋b＝(－3，5)，∴(a＋b)·b＝(－3，5)·(－5，8)＝15＋

30、40＝55.故选C.2．已知a·b＝12，且＝3，＝5，则b在a方向上的投影为4．3．设i，j是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2i－j)·(－3i＋2j)等于(A)A．－B.C．－8D．8解析：(2i－j)·(－3i＋2j)＝－6i2＋7i·j－2j2＝－6

31、i

32、2＋7

33、i

34、

35、j

36、cos60°－2

37、j

38、2＝－6＋－2＝－.故选A.4．已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则·＝－20．1．下列命题正确的是(B)A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．a·b＝b·aC．若a·b<0，则a与b的夹角为钝角D．(a·b)·c

39、＝a·(b·c)解析：a·b＝0⇔a⊥b，a与b不一定是零向量，故A错；对于C，a与b的夹角可以为π，故C错；a·b∈R，b·c∈R，a与c不一定共线，故D错，故选B.2．若＝4，＝3，a与b的夹角为120°，则a·b为(B)A．6　　　　　　　　　B．－6C．－6D．63．若a·c＝b·c(c≠0)，则(D)A．a＝bB．a≠bC．

40、a

41、＝

42、b

43、D．a＝b或(a－b)⊥c解析：由a·c＝b·c，得(a－b)·c＝0.∵c≠0，∴a－b＝0或(a－b)⊥c.故选D.4．在△ABC中，若·＝0，则△ABC为(C)A．直角三角形B．正

44、三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(D)A．－16B．－8C．8D．16解析：因为∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝·＝＋·＝16，故选D.6．若向量a，b满足：

45、a

46、＝1，(a＋b)⊥a，