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《高中数学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（二）学案 新人教A版必修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义【学习要求】1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．学习重点：面向量数量积的运算律及常用的公式学习难点：利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．【学法指导】引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是非常必要的．向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的乘积ab形式相似，实质差别很大．实数中的一些运算性质不能随意简单地类比到向量的数量积上来．例如，a·b＝0不能推出a＝0或b＝0；a·b＝b·ca
2、＝c；(a·b)·c＝a·(b·c)也未必成立.一．知识导学1．向量的数量积(内积)_______________叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝_______________．_________叫做向量a在b方向上的投影，_________叫做向量b在a方向上的投影．2．向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．(1)a·e＝e·a＝_____________；(2)a⊥b⇒a·b＝__且a·b＝__⇒a⊥b；(3)a·a＝___或
3、a
4、＝_____
5、_；(4)cos〈a，b〉＝______；(5)
6、a·b
7、_____
8、a
9、
10、b
11、.3．向量数量积的运算律(1)a·b＝______(交换律)；(2)(λa)·b＝______＝______(结合律)；(3)(a＋b)·c＝_________(分配律).二．探究与发现【探究点一】向量数量积运算律的提出问题1 类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：问题2 在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反例说明．【探究点二】向量数量
12、积的运算律已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a(交换律)；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．【探究点三】平面向量数量积的运算性质实数中，某些多项式乘法公式“移植”到平面向量的数量积运算中仍然成立，请你根据下面多项式乘法中的一些乘法公式类比相应的向量数量积的运算性质.表中的结论可以用作公式使用：例如，若向量a、b、c满足a＋b＋c＝0且
13、a
14、＝3，
15、b
16、＝1，
17、c
18、＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝
19、________.【典型例题】例1 给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．跟踪训练1 设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③
20、a
21、－
22、b
23、<
24、a－b
25、；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9
26、a
27、2－4
28、b
29、2.其中正确的序号是________．例2
30、 已知
31、a
32、＝6，
33、b
34、＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．跟踪训练2 已知向量a与b的夹角为120°，且
35、a
36、＝4，
37、b
38、＝2，求：(1)(2a－b)·(a＋3b)；(2)
39、3a－4b
40、.例3 已知
41、a
42、＝3，
43、b
44、＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直．跟踪训练3 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？三、巩固训练1．已知
45、a
46、＝2，
47、b
48、＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的
49、模为( )A．2B．2C．6D．122．已知
50、a
51、＝1，
52、b
53、＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是( )A．60°B．30°C．135°D．45°3．设
54、a
55、＝3，
56、b
57、＝2，
58、c
59、＝5，向量a与b的夹角为，向量b与c的夹角为，则
60、(a·b)·c
61、＝________；
62、a·(b·c)
63、＝________.四、小结：1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a
64、＝0或b＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝
65、a
66、
67、b
68、·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝
69、a
70、·
71、c
72、cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．3．在实数中，若ab＝0则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cosθ有可能为0.4．在实数中，若ab＝bc，b≠0则a＝c，在向量中a·b＝b·c，b≠0a＝c.
