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《高中数学 2.5 向量的应用第一课时互动课堂学案 苏教版必修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学2.5向量的应用第一课时互动课堂学案苏教版必修4疏导引导1.向量在平面几何中的应用向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.根据平面向量的基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度问题.利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题.案例1求证平行四边形对角线互相平分，【探究】如图所示，已知ABCD的两条对角线相交于点M，设=x，=y，则=x=x+x，=+=+y=+y（-）=（
2、1-y）+y.于是我们得到关于基底{、}的的两个分解式，因为分解式是唯一的，所以解得x=，y=，故M是AC、BD的中点，即对角线AC、BD在交点互相平分.通过上例可以看出用向量方法解决平面几何的步骤为：①建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算，解决几何元素之间的关系.③把运算结果翻译成几何关系.规律总结（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的定义.(2)证明线段平行,三角形相似,判断两直线是否平行,常运用向量共线的条件.(3)证
3、明线段的垂直问题,常用向量垂直的条件a⊥ba·b=0.(4)求与夹角相关的问题,常用向量的夹角公式cosθ=.2.向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x,y）既可表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决.案例2求通过点A（-1，2），且平行于向量a=（3，2）的直线方程.【探究】过点A且平行于向量a的直线是唯一确定的，把这条直线记为l，在l上任取一点P（x,y），则∥a.如果P不与A重合,由向量平行,它们的坐标满足条件.整理得方程2x-3y+8=
4、0.反过来,所有以此方程的解(x,y)为坐标的点也一定在直线l上,所以这个方程,就是所求的直线方程.规律总结设直线的倾角为α,斜率为k,向量a=(a1,a2)平行于l,则有k=tanα=.活学巧用【例1】如图，若D是△ABC内一点，且有AB2-AC2=DB2-DC2.求证:AD⊥BC.解析:欲证AD⊥BC,只须证明AD⊥BC即可.设=a,=b.=e,=c.=d,则a=e+c，b=e+d.∴a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.由已知a2-b2=c2-d2,∴c2+2ec-2ed-d2=c2-d2.故有e·(d
5、-c)=0,∴⊥,即AD⊥BC.【例2】已知直角三角形的两条直角边长分别为4和6,试用向量求出两直角边中线所成钝角的余弦值.解析:本题给出了直角三角形的两直角边长,用坐标法,写出相应点的坐标,再用向量夹角公式求解.以直角边所在直线为x轴,y轴建立如图直角坐标系,则A（4，0），B（0，6），设AF，BE分别为OB、OA边上的中线，则E（2，0），F（0，3）.因=（-4，3），=（2，-6）.所以cos〈·〉=.所以两中线所成钝角的余弦值为.【例3】平面内三点A、B、C在一条直线上，=（-2，m），=（n，1），=（5，-1）.且⊥，求实数m
6、,n的值.解析：因为A、B、C三点共线.所以=λ.因为=-=（7，-1-m）,AB=-=（n+2，1-m）,所以（7,-1-m）=λ(n+2,1-m).所以m·n-5m+n+9=0.由·=0得m-2n=0，②由①②得或【例4】已知直线l：Ax+By+c=0,n=（A·B）求证：n⊥l.证明：设（x0,y0）为l的方程的一个解，则Ax0+By0+C=0（*）.对l的方程和（*）式两边作差，整理得A（x-x0）+B（y-y0）=0.由向量垂直的条件，得向量n=（A，B）与向量（x-x0,y-y0）垂直，由于动点（x,y）的集合就是直线l，所以n⊥
7、l.【例5】如图所示，是并列的三个大小相同的正方形，求证：∠1+∠2+∠3=90°.解：以O为坐标原点，OC、OG所在的直线为x,y轴建立坐标系如图，设正方形边长为1，则=（3，1），=（2，1），作向量=（3，-1），则与的夹角等于∠2+∠3.∵
8、
9、=，
10、
11、=.·=2×3+1×（-1）=5.∴cos〈·〉=.∵〈·〉∈［0°,180°］，∴〈·〉=45°,即∠2+∠3=45°.∵∠1=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°.
