高中数学 2.5.1平面几何中的向量方法学案 新人教A版必修.doc

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1、2016高中数学2.5.1平面几何中的向量方法学案新人教A版必修4学习目标：1．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际问题的过程．2．体会向量是一种处理几何问题的有力工具．3．培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．学习重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”学习难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题一．知识导学：1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔_____⇔_.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的

2、等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔______⇔________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝_______＝__________________.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：

3、a

4、＝__________.2．直线的方向向量和法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为______，法向量为________．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为_________，法向量为_____________.二．探究与发现【探究点一】直线的方向向量与两直线的夹角(1)直线y＝kx＋b的方向向量：如

5、果向量v与直线l共线，则称向量v为直线l的方向向量．对于任意一条直线l：y＝kx＋b，在它上面任取两点A(x0，y0)，B(x，y)，则向量＝(x－x0，y－y0)与直线l共线，即为直线l的方向向量．由于(x－x0，y－y0)＝(1，)＝(1，k)，所以向量(x－x0，y－y0)与向量(1，k)共线，从而向量(1，k)是直线y＝kx＋b的一个方向向量．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量当B≠0时，k＝－，所以向量(B，－A)与(1，k)共线，所以向量(B，－A)是直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量；当B＝0时，A≠0，直线x＝－的一个方向向量为(

6、0，－A)，即(B，－A)．综上所述，直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为v＝(B，－A)．例如：已知直线l：2x－y＋1＝0，下列向量：①v1＝(1,2)；②v2＝(2,1)；③v3＝；④v4＝(－2，－4)．其中能作为直线l方向向量的有：________.(3)应用直线的方向向量求两直线的夹角已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，它们的方向向量依次为v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)．当v1⊥v2，即v1·v2＝1＋k1k2＝0时，l1⊥l2，夹角为直角；当k1k2≠－1时，v1·v2≠0，直线l1与l2的夹角为θ(0°

7、<θ<90°)．不难推导利用k1、k2表示cosθ的夹角公式：cosθ＝＝.例如：直线x－2y＋1＝0与直线2x＋y－3＝0的夹角为______；直线2x－y－1＝0与直线3x＋y＋1＝0的夹角为______．【探究点二】　直线的法向量与两直线的位置关系(1)直线Ax＋By＋C＝0的法向量：如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量．因此若直线的方向向量为v，则n·v＝0.从而对于直线Ax＋By＋C＝0而言，其方向向量为v＝(B，－A)，则由于n·v＝0，于是可取n＝(A，B)，这时因为(B，－A)·(A，B)＝AB－AB＝0.直线的法向量也有

8、无数个．(2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的位置关系：对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的法向量分别为n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)．当n1∥n2时，l1∥l2或l1与l2重合．即A1B2－A2B1＝0⇔l1∥l2或l1与l2重合；当n1⊥n2时，l1⊥l2.即A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2.例如：直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，则a的值为________．【探究点三】　平面向量在几何中的应用用向量法处理有关直

9、线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁直观．其基本方法是：(1)要证明线段AB＝CD，可转化为证明

10、

11、＝

12、

13、.(2)要证明AB∥CD，只需证明存在一个不为零实数λ，使得＝λ，且A、B、C、D不共线即可．(3)要证明A、B、C三点共线，只需证明∥或∥.(4)要证明AB⊥CD，只需证明·＝0，或若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则用坐标证明x1x2＋y1y2＝0即可．(5)常用

14、a

15、＝和cosθ＝处理有关长度与角度的问题．例如，在平行四边形中有下列的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2

16、倍．请用向量法给出证明．【典型例题】例1　已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，