高中数学 2.5.1函数的零点学案 苏教版必修.doc

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1、【金版学案】2015-2016年高中数学2.5.1函数的零点学案苏教版必修11．函数零点的概念．对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．例如：y＝2x＋1的函数图象与x轴的交点为，有一个零点是－．二次函数y＝x2－x－2函数图象与x轴的交点为(－1，0)，(2，0)，有两个零点是－1与2．2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．例如：已知函数f(x)的零点为x＝3，则方程f(x)＝0的实数根为x＝3，亦即函数y＝f(x

2、)的图象与x轴交点的横坐标为3．3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．4．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内有零点．例如：二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：f(－2)·f(1)＜0(填“＜”或“＞”)．在区间(－2，1)上有零点．5．零点是“数”，而不是“点”，如函数f(x)＝3x－2的零点是，而不是.,一、二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系结合二次函数的图象及零点的定义可知，二次函

3、数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，也是相应不等式ax2＋bx＋c≥0(a≠0)或ax2＋bx＋c≤0(a≠0)的解集的端点．二、零点的存在性的判断1．判断方程在某区间内是否有解，主要依据有两点，一是该方程相应的函数在区间内是否连续；二是在区间端点处函数值是否异号．即连续函数在区间端点处函数值异号，则相应方程在区间内一定有解，如若同号，则无法确定是否有解．2．若f(x)满足零点存在定理，只能说明f(x)在(a，b)上至少有一个零点，不能具体判断零点的个数．3．零点存在定理的逆定理不成立，

4、即若f(x)在(a，b)上有零点，不一定有f(a)f(b)<0.如f(x)＝x2－1在(－2，2)上有零点，1和－1，但f(－2)f(2)＝9>0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间(D)A．(0，1)B．(1，1.25)C．(1.25，1.75)D．(1.75，2)解析：设f(x)＝lgx＋x－2，则f(1.75)＝f＝lg－<0，f(2)＝lg2>0.2．函数f(x)＝的零点个数为(C)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：x≤0时由x2＋2x－3＝0⇒x＝－3；x>0时由－2＋l

5、nx＝0⇒x＝e2.3．设函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则(A)A．f(m－1)>0B．f(m－1)<0C．f(m－1)＝0D．f(m－1)与0的大小不能确定解析：结合图象易判断．4．(2014·北京卷)f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(C)A．(0，1)　　　B.(1，2)C.(2，4)D．(4，＋∞)解析：利用零点存在性定理，验证f(x)在各区间端点处的函数值的符号．由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝－

6、log24＝－2＝－＜0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点．5．函数f(x)＝4x－2x＋1－3的零点是________．解析：由4x－2x＋1－3＝0⇒(2x＋1)(2x－3)＝0⇒2x＝3，∴x＝log23.答案：log236．函数f(x)＝(x－1)(x2－3x＋1)的零点是________________________________________________________________________．解析：利用定义可求解．答案：1，7．若函数y＝x2－ax＋2有一个零点为1，则a等于

7、________．解析：由零点定义可求解．答案：38．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)，当2logaa＋3－4＝0，∴x0∈(2，3)，故n＝2.答案：29．证明：方程x·2x＝1至少有一个小于1的正根．证明：令f(x)＝x·2x－1，则f(x)在区间(－∞，＋∞)上的图象是一条连续不断的曲线．当x＝0时，f(x)＝－1<0.

8、当x＝1时，f(x)＝1>0.f(0)·f(1)<0，故在(0，1)内至少有一个x0，当x＝x0时，f(x)＝0.即至少有一个x0，满足0