高中数学 2.6曲线与方程学案苏教版选修.doc

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1、2.6曲线与方程一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议 曲线与方程了解曲线方程的概念比较抽象,视学生情况而定.求曲线的方程掌握通过具体实例的研究,掌握求曲线的方程的一般步骤,以及求曲线的方程的常用方法.曲线的交点掌握通过具体实例的研究,理解并掌握求两条曲线的交点的坐标的方法,进一步学习掌握方程思想和数形结合的方法.二、预习指导1.预习目标(1)了解曲线的方程和方程的曲线的意义,了解曲线与方程的对应关系,并能根据定义作简单的判断与推理.;(2)掌握求曲线方程的一般步骤,注意建立适当坐标系;(3)理解两条直线的交点与两曲线的方程所组成的方程组的解之间的关系,掌握求两曲线的交点坐标

2、的方法.2.预习提纲(1)回顾直线与圆以及圆锥曲线相关知识,回答下列问题:①求上述曲线的方程的过程有何共同之处?②怎样求两条直线的交点?(2)阅读课本第56-62页,回答下列问题:①如果曲线C上点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解,且_______________________________,那么方程f(x,y)=0叫做曲线C的方程,曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线;②请用流程图表示求曲线方程的一般步骤;③思考如何求两条曲线的交点?(3)课本第56页例1判断点与圆的位置关系,思考一般情况下,如何判断点与曲线的位置关系?第56页例2在必修2中是求“圆拱所在圆的方程

3、”,这里是求圆拱的方程,两者有什么区别?第59页例1,例2都是求动点的轨迹,希望同学们能进一步熟悉求曲线方程的一般步骤.第61页例1是圆锥曲线光学性质的应用,要注意解的实际意义.思考,经过点P(0,4),且与抛物线只有一个公共点的直线有_______条,这样的直线的方程是____________________.3.典型例题(1)在建立了直角坐标系之后,点M与有序实数对(x,y)、曲线C与方程f(x,y)=0之间建立了一一对应关系:按某种规律运动点M曲线C几何意义x,y的制约关系坐标(x,y)方程f(x,y)=0代数意义从本质上说,曲线和方程是同一关系下两种不同的表现形式,曲线的

4、性质完全地反映在方程上,方程的性质又同样反映在它的曲线上.因此,我们通过方程来研究曲线,又通过曲线来研究方程,这就是解析几何处理问题的基本思想.例1设A(1,3),B(-1,1),能不能说线段AB的方程为x–y+2=0?并说明理由.分析:本题考查曲线和方程的概念.解:不能说线段AB的方程为x–y+2=0.因为线段AB上的任意一点的坐标都满足方程x–y+2=0,但以方程x–y+2=0的解为坐标的点却不都在线段AB上,例如点(2,4)的坐标是方程x–y+2=0的一个解,但点(2,4)不在线段AB上,所以线段AB的方程不是x-y+2=0.点评:线段AB的方程是x-y+2=0(-1≤x≤

5、1).(2)如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0,我们可以由此判断点是否在曲线上,以及如果点在曲线上那么该点的坐标的特点.例2曲线L的方程为(3x–4y–12)lg(x+2y+1)=0,试判断点A(0,-3),B(0,4),C(4,0),D(1,)是否在曲线上.解:把A点坐标代入方程左边,无意义,故A;把B点坐标代入方程左边,得-28lg9≠0,故B;把C点坐标代入方程左边,得0·lg5=0,故C∈L;把D点坐标代入方程左边,得-7·lg1=0,故D∈L.∴C,D在曲线上,A,B不在曲线上.点评:方程表示的曲线是一

6、条直线x+2y=0和一条射线3x–4y–12=0(x+2y+1>0)--直线3x–4y–12=0在直线x+2y+1=0右上方半平面部分的那条射线.(3)根据已知条件求平面曲线的方程,这是解析几何两个主要问题中的第一个,也是用代数方法研究几何问题的基础.①求曲线的方程时,首先应观察原题条件中有没有坐标系.没有坐标系时应先建立坐标系,否则曲线不能转化为方程,选定坐标系是把曲线和方程统一起来的基础.如果曲线是轴对称图形,那么可以选它的对称轴为坐标轴;也可以选曲线上的特殊点作为原点.建立坐标系应建得适当,这样可使运算过程简单,所得的方程形式也相应简单.②求曲线的方程,关键在于找出动点的横

7、,纵坐标x,y所满足的等式f(x,y)=0,然后进行化简.根据曲线上的点适合的条件列出等式时,常用到平面几何、三角函数等知识.我们要仔细审题,分析已知条件以及曲线的特征,抓住曲线上与任意点M有关的等量关系列出方程,并进行化简.③求得方程以后,要证明以所得方程的解为坐标的点在曲线上(通常这一步可以省略).特别要注意的是,如果化简前后方程的解集不同,那么应删去增加的解,或补上失去的解,保证其等价性.例3点M到两条互相垂直的直线的距离相等,求点M的轨迹方程.分析:初步掌握求曲线的方程的

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