高中数学 3-3 第2课时基本不等式与最大同步导学案 北师大版必修.doc

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1、第2课时 基本不等式与最大(小)值知能目标解读1.进一步巩固基本不等式求最值时成立的条件.2.能够运用基本不等式解决实际应用性问题,提高应用数学手段解决实际问题的意识与能力.重点难点点拨重点:应用基本不等式进行不等式的证明与求最值.难点:1.不等式的综合应用.2.逆向不等式的运用.学习方法指导1.注意基本不等式的基本形式是“和的形式≥积的形式”,还要注意“反向”不等式≤.在解题中的灵活运用.2.注意对字母轮换式的识别,从而通过某种形式的迭加或迭乘使问题获解.3.重视化归思想的运用,等式与不等式之间的转化、不等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等.要把握准转化的条件,达

2、到化归目的.知能自主梳理常见的不等式:1.a2+b2≥       (a、b∈R).2.ab≤(    )2≤(a、b∈R).3.若00,则    .[答案] 1.2ab 2. 3.>思路方法技巧命题方向 不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法[例1] 已知a、b、c是正实数求证:++≥a+b+c.[分析] 由可要证的不等式两边是三项,而均值不等式只有两项,故可尝试多次使用均值不等式.[证明] ∵a、b、c是正实数,∴≥2=2c(当且仅当=,即a=b时,取等号);+≥2=2a(当且仅当=,即b=c时,取等号);+≥2=2b(当且仅当=,即a=c时,取等号

3、).上面3个不等式相加得2·+2·+2·≥2a+2b+2c(当且仅当a=b=c时,取等号).∴++≥a+b+c.[说明] 1.使用均值不等式时,一定要注意是否满足条件,等号能否成立.2.对于证明多项和的不等式时,可以考虑分段应用均值不等式或其变形,然后整体相加(乘)得结论.变式应用1 已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.[解析] ∵a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ca,以上三式相加得:2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca,∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.命题方向 利用均值不等式证明不等式[例2] 已知a

4、>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证:≥9. [解析] 解法一:∵a>0,b>0,c>0,∴==3+=3+()+()+()≥3+2+2+2=9.即≥9(当且仅当a=b=c时取等号).解法二:∵a>0,b>0,c>0,∴=(a+b+c)()=1+=3+()+()+()≥3+2+2+2=9.∴≥9(当且仅当a=b=c时取等号).[说明] 含条件的不等式证明问题,要将条件与结论结合起来,寻找出变形的思路,构造出均值不等式,在条件“a+b+c=1”下,1的代换一般有上面两种情况,切忌两次使用均值不等式,用传递性证明,有时等号不能同时取到.变式应用2 已知a、b、c为正数

5、,求证:++≥3.[解析] 左边==-3.∵a,b,c为正数,∴≥2(当且仅当a=b时取“=”);≥2(当且仅当a=c时取“=”);≥2(当且仅当b=c时取“=”).从而()+()+()≥6(当且仅当a=b=c时取等号).∴-3≥3.即++≥3.探索延拓创新命题方向 利用基本不等式求范围[例3] 当x>0时,求f(x)=的值域. [分析] 此题从形式上看,不能使用算术平均值与几何平均值定理,但通过变形之后,f(x)=在分母上可以使用基本不等式.[解析] ∵x>0,∴f(x)==.∵x+≥2,∴0<≤.∴0

6、=的值域为(0,1].[说明] 本题中若没有x>0的限制,仅有x∈R,那么应如下求解.当x>0时,同上.当x<0时,x+≤-2,∴-≤<0.∴-1≤f(x)<0.当x=0时,f(x)=0.∴-1≤f(x)≤1.∴函数f(x)的值域为[-1,1].变式应用3 设a>b>c,且≥恒成立,求m的取值范围.[解析] 由a>b>c知:a-b>0,b-c>0,a-c>0.因此,不等式等价于≥m,要使原不等式恒成立,只需的最小值不小于m即可.∵==2+≥2+2=4.当且仅当,即2b=a+c时,等号成立.∴m≤4,即m∈(-∞,4].名师辨误做答[例4] 已知0

7、=3+lgx+的最值.[误解] f(x)=3+lgx+≥3+2=3+2×2=7,∴f(x)min=7.[辨析] ∵00,->0,∴(-lgx)+(-)≥2=4,当且仅当-lgx=-,即lgx=-2,x=时,取等号.∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3+(-4

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