高中数学 3-2 第2课时一元二次不等式的应用同步导学案 北师大版必修.doc

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1、第2课时 一元二次不等式的应用知能目标解读1.能利用一元二次不等式解简单的分式不等式与高次不等式.2.利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题.3.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题.4.解决相关实际应用问题.重点难点点拨重点:1.解简单的分式不等式与高次不等式.2.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题. 难点:利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题.学习方法指导解不等式的关键问题就是保证转化的等价性.(1)分式不等式一般先移项通分,然后利用>0(或<0)型转化为f(x)·g(x)>0(或<0),再求解.对于≥0(或≤0),一定不能忽视去掉g(x)=0的情况.

2、(2)含绝对值号的不等式,可分段去掉绝对值号讨论,也可采用两边平方法,应根据题目条件的特点选取方法.(3)高次不等式一般分解因式后用标根法求解,但要注意x的高次项系数为正.(4)不等式恒成立求字母取值范围问题:在给定区间上不等式恒成立,一般地,有下面常用结论:①f(x)a恒成立,f(x)min>a.(5)关于二次方程根的分布主要有以下几种常见问题(a≠0条件下):①方程ax2+bx+c=0有实根,有两不等实根,无实根.主要考虑判别式Δ和二次项系数a的符号.②方程ax2+bx+c=0有两正根方程ax2+bx+c=0有一正一负

3、两实根③方程ax2+bx+c=0有零根c=0.④方程ax2+bx+c=0有两个大于n的根(解法类似于有两正根)方程ax2+bx+c=0有两个小于k的根(解法类似于有两负根情形)方程ax2+bx+c=0一根大于k,另一根小于k(解法类似于一正一负根的情形).则需⑤方程ax2+bx+c=0两根都在(m、n)内.则需⑥方程ax2+bx+c=0一根在(m、n)内,另一根在(n、p)内.则需方程ax2+bx+c=0一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内.则需思路方法技巧命题方向 分式不等式的解法[例1] 不等式<1.[分析] 解分式不等式一般首先要化为>0(或<0)的标准形式,

4、再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用"穿针引线法",借助于数轴得解.[解析] 解法一:原不等式可化为>0(2x2-3x+1)(3x2-7x+2)>0解得原不等式的解集为{x

5、x<或2}.解法二:原不等式移项,并因式分解得>0(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)>0,在数轴上标出(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)=0的根,并画出示意图,如图所示.可得原不等式的解集为{x

6、x<或2}.[说明] 解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式,本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则,故在求解分式不等式时,首先应将一

7、边化为零,再进行求解.变式应用1 解不等式:≤1.[解析] 原不等式-1≤0≤0故原不等式的解集为{x

8、-2≤x<1}.命题方向 高次不等式的解法[例2] 解下列不等式:(1)(x+1)(1-x)(x-2)>0;(2)x3-2x2+3<0;(3)x(x-1)2(x+1)3(x+2)≥0.[分析] 通过因式分解,把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积的问题,然后再依据相关性质解答.[解析] (1)原不等式等价于(x-1)(x-2)(x+1)<0,令y=(x-1)(x-2)(x+1),当y=0时,各因式的根分别为1,2,-1,如图所示可得不等式的解集为{x

9、x<

10、-1或10(∵Δ=(-3)2-12<0).∴原不等式等价于x+1<0,∴原不等式的解集为{x

11、x<-1}.(3)∵方程x(x-1)2(x+1)3(x+2)=0的根依次为0,1,-1,-2,其中1为双重根,-1为三重根,(即1为偶次根,-1为奇次根),如图所示,由"穿针引线法"可得∴不等式的解集为{x

12、-2≤x≤-1,或x≥0}.[说明] 解高次不等式用穿针引线法简捷明了,使用此法时一定要注意:①所标出的区间是否是所求解的范围,可取特值检验,以防不慎造成失误;②是否有多余

13、的点,多余的点应去掉;③总结规律,"遇奇次方根一穿而过,遇偶次方根只穿,但不过",如上图.变式应用2 解不等式(x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0.[解析] 令(x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)=0,得各因式的根分别为-2,1,3,4.将各因式的根从小到大依次标在数轴上,如图∴原不等式的解集是{x

14、-24}.命题方向 不等式恒成立问题[例3] 函数f(x)=mx2-mx-6+m.(1)若对于m∈[-2,2],f(x)<

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