高中数学 3.1.1 两角差的余弦公式学案 新人教A版必修.doc

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1、3.1.1两角差的余弦公式学习目标：1．了解两角差的余弦公式的推导过程．2．理解用向量法导出公式的主要步骤．3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．学习重点：通过探索得到两角差的余弦公式学习难点：通过简单运用，初步理解公式的结构及其功能一．知识导学：两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝_____________________________，其中α、β为任意角.二．探究与发现【探究点一】两角差余弦公式的探索问题1　有人认为cos(α－β)＝cosα－cosβ，你认为正确吗，试举两例加以

2、说明．问题2　请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝____；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝_____；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝_____；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝_____.猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝______________；即：________________________________.【探究点二】两角差余弦公式的证明如图，以坐标

3、原点为中心，作单位圆，以Ox为始边作角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，请回答下列问题：(1)P点坐标是__________，向量＝________________，

4、

5、＝______.Q点坐标是____________，向量＝______________，

6、

7、＝______.(2)当α为钝角，β为锐角时，α－β和向量与的夹角〈，〉之间的关系是：____________________；当α为锐角，β为钝角时，α－β和向量与的夹角〈，〉之间的关系是：_______________；当α，β均为任意角时，α－β和〈，〉

8、的关系是：_____________________________.(3)向量与的数量积·＝

9、

10、

11、

12、cos〈，〉＝____________________________；另一方面，与的数量积用点坐标形式表示：·＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝_______________________从而，对任意角α，β均有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.【探究点三】　两角差余弦公式的应用根据两角差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ解答下列问题，体验公式的正向、逆向应用的灵

13、活选择．问题1　写出下列式子的化简结果：(1)cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝____；(2)sinαsin(α＋β)＋cosαcos(α＋β)＝_______；(3)sin57°cos63°＋cos57°sin63°＝__________.问题2　利用公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，证明下列诱导公式：(1)cos(π－x)＝－cosx；(2)cos＝－sinx.【典型例题】例1　求下列三角函数式的值．(1)sin；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；(3)c

14、os(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(α－45°)sin(15°＋α)．跟踪训练1　求cos105°＋sin195°的值．例2　已知α，β均为锐角，sinα＝，cos(α－β)＝，求cosβ的值．跟踪训练2　设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.例3　已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，求β的值．跟踪训练3　已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．三、巩固训练：1．设α∈，若sinα＝，则cos等于(　　)A.B.C.－D.－2．cos15°＋sin15°

15、＝________.3．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos(α－β)的值．4．已知锐角α、β满足cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ.四、课堂小结;1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)

16、；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.