高中数学 3.1.2 空间向量的基本定理学案 新人教B版选修.doc

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1、3.1.2　空间向量的基本定理1．理解共线向量定理．(重点)2．理解共面向量定理及推论．(重点)3．理解空间向量分解定理，并能用定理解决一些几何问题．(重点)4．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1　共线向量与共面向量定理阅读教材P82～P83“空间向量分解定理”上面，完成下列问题．1．共线向量定理两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb.2．共面向量定理(1)向量与平面平行已知向量a，作＝a，如果a的基线OA平行于平面α或在平面内，则说明向量a平行于平面α

2、.(2)共面向量平行于同一平面的向量，叫做共面向量．(3)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.1．空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是(　　)A．共线向量　　　　　B．共面向量C．不共面向量D．既不共线也不共面向量【答案】　B2．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则(　　)A．四点O，A，B，C必共面B．四点P，A，B，C必共面C．四点O，P，B，C必共面D．五点O，P，A，B，C必共面【答案】　B教材整理2　空间

3、向量分解定理阅读教材P83“空间向量分解定理”～P84，完成下列问题．如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.其中，表达式xa＋yb＋zc，叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合，a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基底．(　　)(2)若向量的坐标为(x，y，z)，则点P的坐标也为(x，y，z)．(　　)(3)

4、若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．(　　)【答案】　(1)√　(2)×　(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________

5、解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]共线向量定理　如图3113所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．图3113【精彩点拨】　分析题意→＝＋→

6、根据M，N的位置表示出→根据与的关系作出判断【自主解答】　∵M，N分别是AC，BF的中点，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，∴＝＋＋＝＋＋＝(－)＋＋(＋)＝＋＋＝(＋)＝.∴∥，即与共线．判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量运算法则．结合具体的图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即a与b共线．[再练一题]1．已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．图3114【证明】　∵E，H分别是AB

7、，AD的中点，∴＝，＝，＝－＝－＝(－)＝＝(－)＝＝(－)＝，∴∥且

8、

9、＝

10、

11、≠

12、

13、.又点F不在上，∴四边形EFGH是梯形．基底的判断　若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．【精彩点拨】判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．【自主解答】　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．∴此方程组无解，∴a＋b，b

14、＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．[再练一题]2．已知{e