高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解素材 新人教A版必修.doc

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1、3.1.2用二分法求方程的近似解“精确度”与“精确到”本节课学习了用二分法求方程的近似解.但在教学中出现了“精确度”这个概念，它与我们以前所学的“精确到”一样吗？在小学和初中我们学习近似数时使用的都是“精确到”，而本节内容学习近似数时使用的是一个新名词——精确度，它们两者在取近似数时，是有差别的.示例如下：例(课本P89引例)用二分法求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点.(1)按精确度为0.01求近似解；(2)按精确到0.1求近似解.分析：本题考查函数零点的概念以及用二分法求函数零点的具体步骤，求零点，关键是确

2、定一个包含此零点的区间，尽可能地根据题中要求找到含有零点的较小区间，再按要求找到函数的近似解.解：(1)因为f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内有零点.又因为f(x)在区间(2,3)内是增函数，所以函数f(x)在区间(2,3)内有唯一零点.采用二分法，可列表如下：零点所在区间中点的值中点函数值的正负区间的长度(即精确度)(2，3)2.5-1(2.5，3)2.75+0.5(2.5，2.75)2.625+0.25(2.5，2.625)2.5625+0.125(2.5，2.5625)2.53125

3、-0.0625(2.53125，2.5625)2.546875+0.03125(2.53125，2.546875)2.5390625+0.015625(2.53125，2.5390625)2.53515625+0.0078125∵0.0078125<0.01,∴闭区间[2.53125，2.5390625]上的任一数值都是所求答案，按照课本要求，这里统一取区间的端点作为零点的近似值，这是因为近似数x与真实值之差的绝对值

4、

5、就是近似值x的精确度ε(即精确度ε是近似数x与真实值之间的接近程度)，用数轴上对应的点描述，近似值x在以真实值为

6、中心、精确度ε为半径的邻域中的任一数，所以零点(真实值∈(2.53125，2.5390625)，选闭区间[2.53125，2.5390625]上的任一数x(近似值)，均有

7、

8、<2.5390625-2.53125=0.0078125，所以闭区间[2.53125，2.5390625]上的任一数都是精确度为0.01的近似值.(2)零点(真实值按精确到0.1求近似解，要根据零点的第二位小数的值按四舍五入得到一位小数的近似值，就是精确到0.1的近似值(即精确到是指数据精确到多少位)，答案是唯一的.但是，对零点所在的区间有严格的要求，该区间上

9、的任一数值都按四舍五入得到一位小数后的近似值必须相同.一般地，只考虑该区间上的两个端点的四舍五入的数值相同就可以了.这样，由第(1)问的列表可得，2.53125≈2.5，2.546875≈2.5，则该零点的区间是(2.53125，2.546875)，所以所求近似值为2.5.说明：通过本题的解答过程可以归纳出“精确度”与“精确到”的异同点.相同点：“精确度”与“精确到”是从两个不同方面得到零点的近似值；不同点：“精确度”是对同一个量的不同近似数的精确程度的度量，按照课本规定，找到的区间的两个端点差的绝对值必须小于题中所给精确度的数值

10、，则该区间就是满足题中条件的零点区间，该闭区间上的任一数值就是零点的近似值，该近似值可以有多个；“精确到”是指一般数据四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，找到的区间两个端点的四舍五入的数值必须相同，则该区间就是零点所在区间，该闭区间的任一近似值等于零点的数值，该近似值只有唯一一个.