高中数学 3.1.3 两个向量的数量积学案 新人教B版选修.doc

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1、3.1.3　两个向量的数量积1．掌握空间向量的夹角与长度的概念．2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)[基础·初探]教材整理1　空间向量的夹角阅读教材P85～P86“两个向量的数量积”上面内容，完成下列问题．1．夹角的定义已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．图31202．夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线

2、，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量________，记作________．【答案】　π　垂直　a⊥b判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)〈a，b〉与(a，b)都表示直角坐标系下的点．(　　)(2)在△ABC中，〈，〉＝∠B.(　　)(3)在正方体ABCDA′B′C′D′中，与的夹角为45°.(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)√教材整理2　空间向量的数量积及其性质阅读教材P86“两个向量的数量积”～P87“例2”，以上部分内容，完成下列问题．1．已知空间中两个非零向量a，b，则________叫做a，

3、b的数量积，记作________．规定：零向量与任何向量的数量积为________，即0·a＝________.【答案】　

4、a

5、

6、b

7、cos〈a，b〉　a·b　0　02．空间向量数量积满足下列运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝________.【答案】　a·b＋b·c3．空间向量数量积的性质若a，b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝

8、a

9、cosθ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)a·a＝

10、a

11、2或

12、a

13、＝________；(4)若θ

14、为a，b的夹角，则cosθ＝；(5)

15、a·b

16、≤

17、a

18、·

19、b

20、.【答案】　下列式子中正确的是(　　)A．

21、a

22、a＝a2　　　　　B．(a·b)2＝a2b2C．a(a·b)＝b·a2D．

23、a·b

24、≤

25、a

26、

27、b

28、【解析】　根据数量积的定义知，A，B，C均不正确．故选D.【答案】　D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：______________________________________

29、__________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]空间向量数量积的运算　(

30、1)如图3121，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AC，则在向量，，，，，中，夹角为90°的共有(　　)图3121A．6对　　　　　　　　B．5对C．4对D．3对(2)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝________.图3122(3)如图3122所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求下列数量积：①·＝________；②·＝________.【自主解答】　(1)与，与，与，与，与夹角为90°.(2)·＝·＝·＋·＝a2cos60°＝a2.(3)①·

31、＝1×cos135°＝－1；②·＝·(＋)＝·＋·＝0.【答案】　(1)B　(2)a2　(3)①－1　②01．求两向量数量积的解题思路(1)解模：解出两向量的模．(2)求夹角：根据向量的方向求出两向量的夹角．(3)求结果：使用公式a·b＝

32、a

33、

34、b

35、cos〈a，b〉得结果．2．数量积的运算结果是一个数量，正、负、零皆有可能．[再练一题]1．已知空间向量a，b满足

36、a

37、＝4，

38、b

39、＝8，a与b的夹角为150°，求下列各式的值．(1)a·b；(2)(a＋2b)·(2a－3b)．【解】　(1)a·b＝

40、a

41、

42、b

43、cos〈a，b〉＝4×8×cos150

44、°＝4×8×＝－16.(2)(a＋2b)·(2a－3b)＝2a2＋a·b－6b2＝2

45、a

46、2＋

47、a

48、

49、b

50、cos150°－6

51、b

52、2＝2×42－16－