高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法特色训练 新人教A版必修.doc

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1、3.2　一元二次不等式及其解法特色训练(一)一、一元二次不等式的解法例1　求下列不等式的解集(1)－2x2－x＋1>0；(2)(x2－x－1)(x2－x＋1)>0.解　总结　一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步，化二次项的系数为正数；第二步，求解相应的一元二次方程的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集．►变式训练1　求下列关于x的不等式的解集．(1)－x2＋7x>6；(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0.解　二、解含参数的一元二次不等式例2　解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a

2、∈R)．解　总结　解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．►变式训练2　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.解　三、一元二次不等式与一元二次方程的关系例3　若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．解　总结　利用根与系数关系寻找根之间的联系，借此求出方程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．►变式训练3　已

3、知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x

4、α0的解集．解　课堂小结：1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．2．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．3．由一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0(a>0))的解集为{x

5、xx2}(或{x

6、x1

7、x2}(x11；(2)≤1－.解　二、恒成立问题例2　设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(

8、x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．解　总结　含参数的二次不等式在某区间内恒成立，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数在区间上的最值来处理；方法二是分离出参数再去求函数的最值．►变式训练2　若不等式2x－1>m(x2－1)对满足

9、m

10、≤2的所有实数都成立，求x的取值范围．解　三、一元二次方程根的分布例3　设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两实根x1，x2，且0

11、根的分布问题，首先要分清对应的二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等式及不等式组，进而求解．►变式训练3　若方程4x＋(m－3)·2x＋m＝0有两个不相同的实根，求m的取值范围．解　课堂小结1．解分式不等式时一定要等价变形为一边为零的形式，再化归成整式不等式(组)或高次不等式．若不等式含有等号时，分母不为零．2．用数轴穿根法解高次不等式的过程可简记为“化正、化积、穿根、写出”四个步骤，某些点是保留还是去掉，要认真检查．3．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往

12、往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；(2)a0，得2x2＋x－1<0，因式分解得(x＋1)(2x－1)<0，∴－10，∴(x2

13、－x－1)(x2－x＋1)>0.即解不等式x2－x－1>0，由求根公式知x1＝，x2＝.∴x2－x－1>0的解集是.∴原不等式的解集为.►变式训练1　解　(1)∵－x2＋7x>6，∴－x2＋7x－6>0.∴x2－7x＋6<0，∴(x－1)(x－6)<0.∴1

14、1