高中数学 3.2 二倍角的三角函数互动课堂学案 苏教版必修.doc

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1、高中数学3.2二倍角的三角函数互动课堂学案苏教版必修4疏导引导1.二倍角公式(1)二倍角公式的正弦、余弦、正切公式sin2α=2sinαcosα(S2α)cos2α=cos2α-sin2α=2cosα2-1=1-2sin2α(C2α)tan2α=(T2α)这组公式要记准、记熟、用活.下组给出这组公式的推导:∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,∴当α=β时,有sin2α=2sinαcosα.∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.∴当α=β时,有cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1(sin2α=1-cos2

2、α)=1-2sin2α(cos2α=1-sin2α).∵tan(α+β)=,∴当α=β时,有tan2α=.公式S2α,C2α中α∈R,公式T2α中的α≠kπ+且α≠kπ+(k∈Z).从上面的公式推导中可以看到二倍角公式是和角公式的特殊情况.(2)关于倍角公式应注意的几个问题:①推导思路在正弦、余弦、正切的和角公式中,令两角相等,就得相应倍角公式,由此,倍角公式是和角公式的特例.②公式的适用范围公式S2α、C2α中,角α可以为任意角;但公式T2α只有当α≠+kπ及α≠+(k∈Z)时,才成立,否则不成立.当α=+kπ,k∈Z,虽然tanα的值不存在,但tan2

3、α的值是存在的,这时求tan2α的值可利用诱导公式.③对于“二倍角”要有广义理解,如4α是2α的2倍;α作为的2倍;作为α4的2倍;3α作为的2倍;作为的2倍等.2.二倍角公式的变形(1)公式逆用2sinαcosα=sin2α,sinαcosα=sin2α,cosα=.cos2α-sin2α=cos2α,=tan2α.(2)公式的逆向变换及有关变形1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2,1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.cos2α=,sin2α=.活学巧用【例1】已知sinα+cosα

4、=,且0<α<π,求sin2α,cos2α,tan2α的值.解析:∵sinα+cosα=,∴sin2α+cos2α+2sinαcosα=.∴sin2α=且sinαcosα=<0.∵0<α<π,sinα>0,∴cosα<0.∴sinα-cosα>0.∴sinα-cosα=.∴cos2α=cos2α-sin2α=(sinα+cosα)(cosα-sinα)=×(-)=.tan2α=.【例2】已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x∈[0,],求f(x)的最大值、最小值.解析:f(x)=(cos2x+

5、sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=cos(2x+).(1)T==π.(2)0≤x≤,0≤2x≤π,≤2x+≤,-1≤cos(2x+)≤.∴≤cos(2x+)≤1.∴f(x)max=1,f(x)min=.【例3】已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,x∈R.(1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换和伸缩变换得到.解析:(1)y=cos2x+sinxcosx+1=(2cos2x-1)++(2sinxcosx)+1=(cos2xsin+si

6、n2xcos)+=sin(2x+)+y取得最大值必须且只需2x+=+2kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z.所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为{x

7、x=kπ+,k∈Z}.(2)y=sinxy=sin(x+),y=sin(2x+)y=sin(2x+)y=sin(2x+)+.

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