高中数学 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切学案 新人教B版必修.doc

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1、3.2.2　半角的正弦、余弦和正切1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程.2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.(重点、难点)[基础·初探]教材整理　半角公式阅读教材P145内容，完成下列问题.sin＝±，cos＝±，tan＝±＝＝.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos＝.(　　)(2)存在α∈R，使得cos＝cosα.(　　)(3)对于任意α∈R，sin＝sinα都不成立.(　　)(4)若α是第一象限角，则tan＝.(　　)【解析】　(1)×.只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，

2、即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos＝.(2)√.当cosα＝－＋1时，上式成立，但一般情况下不成立.(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立.(4)√.若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan＝成立.【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________

3、________疑问2：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________[小组合作型]化简求值问题　(1)已知cosθ＝－，且180°<θ<270°，求tan；(2

4、)化简(1－sinα)(1－sinβ)－2.【精彩点拨】　(1)①cosθ＝－→tan＝±→tan的值；②cosθ＝－→tan＝→tan的值.对于(1)的思考要注意符号的选择.(2)灵活运用三角函数公式求解.【自主解答】　(1)因为180°<θ<270°，所以90°<<135°，即是第二象限的角，所以tan<0，∴tan＝－＝－＝－2.(2)原式＝1－(sinα＋sinβ)＋sinαsinβ－＝1－2sincos＋sinαsinβ－＝sinαsinβ＋＝sinαsinβ－sinαsinβ＝0.1.解决给值求值问题的方法及思路：(1)给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算

5、及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题.(2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用.2.三角函数化简的思路及原则：(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：①运用公式之后能否出现特殊角；②运用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；③运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件.(3)对于三角函数的和差化积，有时因为使用公式不同，

6、或选择题的思路不同，化积结果可能不一致.[再练一题]1.(1)已知sinα＝，cosα＝，则tan等于(　　)A.2－B.2＋C.－2D.±(－2)(2)化简(－π<α<0).【导学号：】【解析】　(1)因为sinα＝>0，cosα＝>0，所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限.所以tan>0，故tan＝＝＝－2.【答案】　C(2)原式＝＝＝＝.因为－π<α<0，所以－<<0，所以sin<0，所以原式＝＝cosα.三角恒等式的证明　(1)求证：1＋2cos2θ－cos2θ＝2；(2)求证：＝.【精彩点拨】　(1)可由左向右证：先把左边cos2θ降幂化为同角后整理可证.(2)可

7、先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化.【自主解答】　(1)左边＝1＋2×－cos2θ＝2＝右边.所以原等式成立.(2)左边＝＝＝＝＝＝＝右边.所以原等式成立.三角恒等式证明的五种常用方法：(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简.(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左