高中数学 3.2.2 复数的乘法和除法学案 新人教B版选修.doc

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1、3.2.2 复数的乘法和除法1.掌握复数代数形式的乘除运算.(重点)2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.(难点)3.理解共轭复数的性质,并能灵活运用.(易错点)[基础·初探]教材整理1 复数的乘法法则及运算律阅读教材P59例1以上内容,完成下列问题.1.设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.2.对任意z1,z2,z3∈C,有交换律z1·z2=z2·z1结合律(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3已知a,b∈R,i是虚数单位.若

2、(a+i)(1+i)=bi,则a+bi=________.【解析】 因为(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,a,b∈R,所以解得所以a+bi=1+2i.【答案】 1+2i教材整理2 共轭复数的性质与复数的除法阅读教材P59例2至P61,以上内容,完成下列问题.1.共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称.(2)实数的共轭复数是它本身,即z=z⇔z∈R.利用这个性质,可以证明一个复数是实数.(3)z·z=

3、z

4、2=

5、z

6、2∈R.2.复数的除法法则设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0),==+i.1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个复数互为共

7、轭复数,则它们的模相等.(  )(2)若z∈C,则

8、z

9、2=z2.(  )(3)若z1,z2∈C,且z+z=0,则z1=z2=0.(  )【解析】 (1)正确.设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,∵

10、z

11、=,

12、z

13、==,∴

14、z

15、=

16、z

17、.(2)错误.举反例:如z=1+i,则

18、z

19、=,z2=2i,

20、z

21、2≠z2.(3)错误.例如z1=1,z2=i,显然z+z=0,但z1≠z2≠0.【答案】 (1)√ (2)× (3)×2.i是虚数单位,复数=________.【解析】 ===2-i.【答案】 2-i[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:   

22、                                 解惑:                                    疑问2:                                    解惑:                                    疑问3:                                    解惑:                                    [小组合作型]复数代数形式的乘除运算 (1)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2-bi,则(a+bi)2=(  )A.3-4iB.

23、3+4iC.4-3iD.4+3i(2)等于(  )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i(3)计算:=________.【导学号:】【精彩点拨】 (1)复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.(2)复数的除法法则,通过分子、分母都乘以分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.【自主解答】 (1)∵a,b∈R,a+i=2-bi,∴a=2,b=-1,∴(a+bi)2=(2-i)2=3-4i.(2)=====-1-i.故选D.(3)=====-2-2i.【答案】 (1)A (2)D (3)-2-2i1.复数的

24、乘法可以把i看作字母,按多项式乘法的法则进行,注意要把i2化为-1,进行最后结果的化简.复数的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘以i).2.利用某些特殊复数的运算结果,如(1±i)2=±2i,=1,=-i,=i,=-i,i的幂的周期性等,都可以简化复数的运算过程.[再练一题]1.计算:(1)(1+i);(2)(-2+3i)÷(1+2i).【解】 (1)(1+i)=(1+i)=(1+i)=+i=-+i.(2)(-2+3i)÷(1+2i)====+i.共轭复数及其应用 (2016·潍坊高二检测)已知复数z的共轭复数是z,且

25、z-z=-4i,z·z=13,试求.【精彩点拨】 →→【自主解答】 设z=x+yi(x,y∈R),则由条件可得即解得或因此z=3-2i或z=-3-2i.于是====-i,或====+i.1.已知关于z和的方程,而复数z的代数形式未知,求z.解此类题的常规思路为:设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化为方程(组)求解.2.关于共轭复数的常用结论(1)z·=

26、z

27、2=

28、

29、2是共

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