高中数学 3.3.1函数的单调性与导数学案 新人教A版选修.doc

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1、【金版学案】2015-2016学年高中数学3.3.1函数的单调性与导数学案新人教A版选修1-1►基础梳理1．函数的单调性与其导数的正负的关系．在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．根据导数与函数单调性的关系，求函数单调区间的一般程序．(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；(4)写单调区间．3．利用导数判断函数单调性和确定单调区间的注意事项．(1)必须首先确定函数的定义域，在具体的解决问题过程中，只能在定义域内，通过讨

2、论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)了解在某一区间内f′(x)＞0[或f′(x)＜0]是函数f(x)在该区间为增(或减)函数的充分不必要条件；(3)函数的单调区间可以都用开区间表示，如果一个函数具有相同单调性的单调区间有几个，它们不能用并集符号“∪”连接，要用逗号或文字“和”、“及”等隔开；(4)若函数中含有参数，必须根据具体问题，对参数进行分类讨论，然后分别求出单调区间；(5)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数图象就比较“陡峭”(向上或向下)，反之，函数的图象就“平缓”一些．,►自测自评1．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，

3、且f(a)≥0，则在(a，b)内恒有(A)A．f(x)＞0B．f(x)＜0C．f(x)＝0D．不能确定解析：由f′(x)＞0知，f(x)在(a，b)上单调递增，∴f(x)＞f(a)≥0，即f(x)＞0，故选A.2．函数y＝x3－3x的单调增区间是____________________________________________________________________________________．答案：解析：y′＝3x2－3，令y′＞0，即3x2－3＞0，解得x＞1，或x＜－1，∴函数y＝x3－3x的单调增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)，(1，＋∞)

4、3．函数y＝xlnx的单调递减区间是________．解析：y′＝(xlnx)′＝lnx＋1，令y′＜0，∴lnx＋1＜0，∴0＜x＜，∴函数y＝xlnx的单调递减区间是.1．f(x)＝5x2－2x的单调增区间为(A)A.B.C.D.2.函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数(B)A.　　　　　　　B．(π，2π)C.D．(2π，3π)解析：y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.若y＝f(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内y′恒大于等于0即可．只有当x∈(π，2π)时，y′＞0恒成立，∴只有B符合题意．3．已知导函数y＝f′(x)的图象如下图所示，请根据图象写

5、出原函数y＝f(x)的递增区间是________．解析：从图象可知f′(x)＞0的解为－1＜x＜2或x＞5，∴f(x)的递增区间为(－1，2)，(5，＋∞)．答案：(－1，2)，(5，＋∞)4.设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．求g(x)的单调区间．解析：由题设知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋，∴g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，故(0，1)是g(x)的单调减区间．当x∈(1，＋∞]时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间．5.若f(x)＝ax3＋x在区间[－1，1]上单调递增，求a的取值范围．分析：利用不

6、等式f′(x)≥0在[－1，1]上恒成立，确定a的取值范围．解析：f′(x)＝3ax2＋1，∵f(x)在区间[－1，1]上单调递增，∴f′(x)＝3ax2＋1≥0在[－1，1]上恒成立．当x＝0时，显然成立，当x≠0时，a≥－，∵在x∈[－1，0)∪(0，1]的最大值为－，∴a≥－.故a的取值范围是.1．若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且x∈(a，b)时，f′(x)＞0，又f(a)＜0，则(D)A．f(x)在[a，b]上单调递增，且f(b)＞0B．f(x)在[a，b]上单调递增，且f(b)＜0C．f(x)在[a，b]上单调递减，且f(b)＜0D．f(x)在[a，b]上单调递

7、增，但f(b)的符号无法判断2．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数(B)A.B．(π，2π)C.D．(2π，3π)解析：y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.若y＝f(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内y′恒大于等于0即可，只有当x∈(π，2π)时，y′＞0恒成立，∴只有B符合题意．3．下列函数在区间(－1，1)内不是增函数的是(D)A．y＝ex＋xB．y＝sinxC．y＝