高中数学 3.3.2函数的极值与导数学案 新人教A版选修.doc

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1、【金版学案】2015-2016学年高中数学3.3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修1-1►基础梳理1．极值的概念．如果函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；如果函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0

2、，则把点b叫做y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2．求函数y＝f(x)的极值的一般方法．解方程f′(x)＝0.当f′(x)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．,►自测自评1．下面说法正确的是(B)A．可导函数必有极值　　　　　　B．函数在极值点一定有定义C．函数的极小值不会超过极大值D．函数在极值点处导数一定存在2．函数f(x)的定义域

3、为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有(A)A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个3．函数y＝1＋3x－x3有极小值________，极大值__________．解析：∵y＝1＋3x－x3，∴y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1，且y′在区间(－∞，－1)，(－1，1)，(1，＋∞)上的正负性依次为－，＋，－.∴当x＝－1时，y＝－1是极小值；当x＝1时，y＝3是极大值．答案：－1　31．函数y＝2x3－x2的极大值

4、为(A)A．0B．－9C．0，D.解析：y′＝6x2－2x，令y′＞0，解得x＜0，x＞，令y′＜0，解得0＜x＜，∴当x＝0时，取得极大值0，故选A.2．若函数y＝x3－2mx2＋m2x,当x＝时，函数取得极大值，则m的值为(C)A.或1　　　　　　　B.C．1D．都不对3．若函数y＝x3＋x2＋ax在R上没有极值点，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝x2＋2x＋a，∵f(x)在R上没有极值点，∴Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.答案：a≥14．求函数f(x)＝－x(x－2)2的极值．解

5、析：函数f(x)的定义域为R.f(x)＝－x(x2－4x＋4)＝－x3＋4x2－4x，∴f′(x)＝－3x2＋8x－4＝－(x－2)(3x－2)，令f′(x)＝0得x＝或x＝2.列表：从表中可以看出，当x＝时，函数有极小值，且f＝－＝－.当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝－2(2－2)2＝0.5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值．求a、b的值与函数f(x)的单调区间．解析：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，则f′(x)＝3x2＋2ax＋b.依题意得，解得即f′(

6、x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．函数f′(x)，f(x)的变化情况见下表：所以函数f(x)的递增区间是与(1，＋∞)，递减区间是.1．f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值点的(C)A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件解析：y＝f(x)在x＝x0处有极值点时不仅要f′(x0)＝0，而且还要x0左右的增减性相异．故f(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．已知函数y＝f(x)(x∈R)有唯一的极值，并且当x＝1时，f(

7、x)存在极小值，则(C)A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：考查函数极小值的概念，只不过换成了符号语言，抓住极小值的定义即可得出答案C.3．函数y＝1＋3x－x3(D)A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－

8、2，极大值2D．极小值－1，极大值3解析：y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1，易判断当x＝1时，有极大值y＝3，当x＝－1时，有极小值y＝－1.故选D.4．已知函数y＝2x3－ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(B)A．(2，3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，3)解析：y′＝6x2－2ax＋36，∵x＝2为极值点，∴当x＝2时，y′＝6×4－2a×2＋36＝0，解得a＝15，∴y