高中数学 3.4基本不等式教学案 新人教版必修.doc

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1、3．4．1基本不等式（1）【教学目标】1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式的几何背景：探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。2合作探究

2、（1）问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。系）提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：，提问3：那4个直角三角形的面积和呢？生答：提问4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有结论：（板书）一般地，对于任意实数、，我们有，当且仅当时，等号成立。提问5：你能给出它的证明吗？(学生

3、尝试证明后口答,老师板书)证明:所以注意强调当且仅当时,(2)特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式的性质推导(板书,请学生上台板演):要证:①即证②要证②,只要证③要证③,只要证(-)④显然,④是成立的,当且仅当时,④的等号成立(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数探究：课本中的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.这个圆的半径为，显然，它大

4、于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.即学即练:1若且，则下列四个数中最大的是　　　　　（）Ａ．　　　　　Ｂ．　　　　　Ｃ．2ab　　　　　　Ｄ．a2a,b是正数，则三个数的大小顺序是　（　　）Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．答案BC例题分析：(1)＝2即≥2.(2)x＋y≥2＞0x2＋y2≥2＞0x3＋y3≥2＞0∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即（

5、x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.变式训练：Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少解析：因为Ｘ＞0，Ｘ+≥2=2当且仅当Ｘ=时即x=1时有最小值2点评：此题恰好符合基本不等式的用法，1正2定3相等可以具体解释每一项的意思。当堂检测：1.下列叙述中正确的是（）.（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值12下面给出的解答中，正确的是（）.（A）y＝x＋≥2＝2，∴y有最小值2（B）y＝

6、sinx

7、＋≥2＝4，∴y有最小值4

8、（C）y＝x（－2x＋3）≤＝，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值＝1（D）y＝3－－≤3－2＝－3，y有最大值－33.已知x＞0，则x＋＋3的最小值为（）.（A）4（B）7（C）8（D）114.设函数f（x）＝2x＋－1（x＜0），则f（x）（）.（A）有最大值（B）有最小值（C）是增函数（D）是减函数1B2.D3B4.A基本不等式第一课时课前预习学案一、预习目标不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理。二、预习内容一般地，对于任意实数、，我们有，当，等号成立。两个正数的算术平均数不小于它

9、们的几何平均数，字母表示：。三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案教学目标，不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件合作探究1证;强调：当且仅当时,特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式的性质推导证明:结论：两个正数的算