高中数学 4.2 实际问题的函数建模名师考点精讲 北师大版必修.doc

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1、（同步课堂）2013-2014学年高中数学4.2实际问题的函数建模名师考点精讲北师大版必修1[读教材·填要点]1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题(1)数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为

2、数据拟合．(2)常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)，图像增长特点是直线式上升(x的系数k＞0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx(k＞0)．②反比例函数模型：y＝(k＞0)型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a·bx＋c(b＞0，且b≠1，a≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b＞1，a＞0)，常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1，m≠0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢(底数a＞1，m＞0)．⑤

3、幂函数模型，即y＝a·xn＋b(a≠0)型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大(a＞0)．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，分析图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模(1)定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．(2)过程：如下图所示．[小问题·大思维]1．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残

4、留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x)．试规定f(0)的值，并解释f(0)的实际意义．提示：f(0)＝1，表示没用清水清洗时，蔬菜上的农药将保持原样．2．某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用常用五种函数模型中的哪种？提示：对数型函数．3．今有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则最佳体现这些数据关系的函数模型是下列四

5、个函数中的哪个？①u＝log2t；②u＝2t－2；③u＝；④u＝2t－2.提示：③可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示，由散点图可知，图像不是直线，排除④项；图像不符合对数函数的图像特征，排除①项；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，＝＝4，由表格知当t＝3时，u＝4.04，模型u＝能较好地体现这些数据关系．[研一题][例1]　某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：

6、第t天5152030Q件35252010(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)根据表中提供的数据，确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．[自主解答]　(1)由已知可得：P＝(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为Q＝－t＋40(0＜t≤30，t∈N＋)．(3)由题意y＝＝当0＜t＜25，t＝10时，ymax＝900，当25≤t≤30，t＝25时，ymax＝(25－70)2－900＝1125，故当t＝

7、25时，日销售金额最大且最大值为1125元．[悟一法]在用函数刻画实际问题的过程中，除了用函数解析式刻画外，函数图像也能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本例题涉及到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型．[通一类]1．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业

8、的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由．(3)第