高中数学 4.2.1实际问题的函数建模教学设计 北师大版必修.doc

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1、实际问题的函数建模教学分析     函数基本模型的应用是本章的重点内容之一.教科书用例题作示范,并配备了较多的实际问题让学生进行练习.在例题中,分别介绍了分段函数、对数函数、二次函数的应用.教科书中还渗透了函数拟合的基本思想.通过本节学习让学生进一步熟练函数基本模型的应用,提高学生解决实际问题的能力.三维目标     1.培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力,即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式.2.会利用函数图像性质对函数解析式进行处理得出数学结论,并根据数学结论解决实际问题.3.通过学习函数基本模型的应用,体

2、会实践与理论的关系,初步向学生渗透理论与实践的辩证关系.重点难点     根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型,并根据数学模型解决实际问题.课时安排     3课时2.1 实际问题的函数刻画导入新课     情境:有一大群兔子在喝水、嬉戏,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草

3、原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至20世纪50年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.其中的意蕴:对于一个种群的数量,如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下,那么它将呈指数增长;但在自然状态下,种群数量一般符合对数增长模型.这一节我们将讨论不同函数模型的应用.推进新课     ①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小

4、时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40),试求f(x)和g(x).②A,B两城相距100km,在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电

5、量为20亿度/月,B城为10亿度/月.把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域.③分析以上实例属于哪种函数模型.讨论结果:①f(x)=5x(15≤x≤40);g(x)=②y=5x2+(100—x)2(10≤x≤90).③分别属于一次函数模型、分段函数模型、二次函数模型.思路1例1当人的生活环境温度改变时,人体代谢率也有相应的变化,下表给出了实验的一组数据,这组数据能说明什么?环境温度/(℃)410203038代谢率/4185J/(h·m2)60444040.554解:在这个实际问题中出现了两个变量:一个是环境温度;另一个

6、是人体的代谢率.不难看出,对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应,这就决定了一个函数关系.实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率,为了使函数关系更直观,我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来.在医学研究中,为了方便,常用折线把它们连接起来(如图1).图1根据图像,可以看出下列性质:(1)代谢率曲线在小于20℃的范围内是下降的,在大于30℃的范围内是上升的;(2)环境温度在20℃~30℃时,代谢率较低,并且较稳定,即温度变化时,代谢率变化不大;(3)环境温度太低或太高时,它对代谢率有较大影响.所以,

7、临床上做“基础代谢率”测定时,室温要保持在20℃~30℃之间,这样可以使环境温度的影响最小.点评:在这个问题中,通过对实验数据的分析,可以确定由{4,10,20,30,38}到{60,44,40,40.5,54}的一个函数,通过描点,并且用折线将它们连接起来,使人们得到了一个新的函数,定义域扩大到了区间[4,38].对于实际的环境温度与人体代谢率的关系来说,这是一个近似的函数关系,它的函数图像,可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢率的关系.变式训练电信局为了满足客户不同需要,设有A、B两种优惠方案,这两种方案应付话费(

8、元)与通话时间(分钟)之间关系如图2所示(其中MN∥CD).(1)分别求出方案A,B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x);(2)假如你是一位电信局推销人员,你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案?并说明理由.[来源:Zxxk.Com]图2解:(1)先列出两种优惠方案所对应的函

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