高中数学 6.2算术平均数与几何平均数（备课资料） 大纲人教版必修.doc

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1、备课资料一、参考例题［例1］若a≥b＞0，试比较a，，，，，b的大小，并利用不等号将它们连接起来.分析：为了探索上述各式之间的大小关系，我们先用特殊值来进行分析和猜想，在此基础上再进行一般性的证明.观察与猜想：令a＝4，b＝3，则：a＝4＝；＝；=；=；b＝3＝当a＝b时，上述各式都相等，故有猜想：a≥≥≥≥≥b.解：∵a≥b＞0∴（1）a＝＝≥；(2)＝≥；(3)≥；(4)＝，即≥.(5)－b＝≥0即＞b综上所述：a≥≥≥≥.评述：1.对事物的观察和猜想是一种探索问题及找到方向的有效方法，本题为了分析各个式子的大小关系，

2、通过特殊值的代入进行观察，从而发现一般性的结论，这样为进一步论证提供了方向.2.对于(4)也可以从基本不等式进行推导：≥≤..这里，经历了一次利用基本不等式进行论证的过程.3.本题所涉及到的一组不等式是重要不等式，除去我们已知的两个正数a、b的算术平均数（）和几何平均数（）外，这里，和分别叫正数a、b的平方平均数和调和平均数.对于这四种平均数有如下定理：两个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，它们的几何平均数不小于它们的调和平均数.即若a>0,b>0，则有≥≥≥（当且仅当a＝b时

3、取“＝”号）.［例2］已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：(1)（－1）（－1）（－1）≥8；(2)a2＋b2＋c2≥；(3)+≥27；(4)（1＋）（1＋）（1＋）≥64.分析：在不等式证明中，n个正数的和为1，常常作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.证明：(1)∵a＋b＋c＝1且a>0，b>0，c>0，∴－1＝－1＝＞0；－1＝＞0；－1＝＞0.三式相乘得：（－1）（－1）（－1）≥＝8，即（－1）（－1）（－1）≥8.(2)∵a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1，∴1＝（a＋b

4、＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≤a2＋b2＋c2＋（a2＋b2）＋（b2＋c2）＋（a2＋c2）＝3（a2＋b2＋c2）∴a2＋b2＋c2≥.(3)∵a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1，∴＋＝（a＋b＋c）2（＋）≥（3）2·3＝27∴＋≥27(4)∵a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1，∴（1＋）（1＋）（1＋）＝（1＋）（1＋）（1＋）＝（2＋）（2＋）（2＋）≥（2＋）（2＋）（2＋）＝8（1＋）（1＋）（1＋)≥8（2)（2）（2）＝64即（1＋）（1＋）（1＋）≥64.评述：（1）这是一

5、类条件不等式的证明，显然，巧妙地利用已知条件是证明此类题的关键.（2）以上各小题在证题过程中，或是将分子的1看作a＋b＋c，然后拆项，或是将原代数式乘以一个值为1的因式（a＋b＋c），以利于进一步整理变形，这些常用的“1”的变换技巧很重要.（3）本节定理：“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”，可以进一步引申出定理：“n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.(见课本P24“阅读材料”).即，一般地，对于n个正数a1，a2，…，an（n≥2且n∈N)，则有，(当且仅当a1＝a2…＝an时取“

6、＝”号).显然有：若a，b，c为正数，则：（当且仅当a＝b＝c时取“＝”号).二、参考练习题1.选择题(1)“a＋b≥2”是“a>0，b>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件答案：B(2)设b＞a＞0，且a＋b＝1，则此四个数，2ab，a2＋b2，b中最大的是()A.bB.a2＋b2Ｃ.2abD.答案：A(3)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A.1≤ab≤B.ab＜1＜C.ab＜＜1D.＜ab＜1答案：B(4)已知a>0，b>0且a＋b＝4，则下列各式恒成立的是(

7、)A.B.≥1C.≥2D.答案：B(5)若a＞b＞0，则下面不等式正确的是()A.B.C.D.答案：C(6)若a，b∈R且a≠b，在下列式子中，恒成立的个数为（）①a2＋3ab＞2b2②a５＋b５＞a3b2＋a2b3③a2＋b2≥2（a－b－1）④＞2A.4B.3Ｃ.2D.1答案：D(7)设a，b，c是区间(0，1)内的三个互不相等的实数且p＝logc，q＝，r＝，则p，q，r的大小关系是()A.p＞q＞rB.p＜q＜rC.r＜p＜qD.p＜r＜q答案：C2.已知x＞y＞0，xy＝1，求证：≥2.证明：∵x＞y＞0，xy＝

8、1∴≥2＝2即≥23.已知a＞2，求证：loga（a－1）·loga（a＋1）＜1.证明：∵a＞2∴loga（a－1）＞0，loga（a＋1）＞0，loga（a－1）≠loga（a＋1）∴loga（a－1）·loga（a＋1）＜［］2＝［loga（a2－1））2＜（logaa2）2＝1即loga（a－1