高中数学 一元二次方程学案 苏教版必修.doc

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1、一元二次方程一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议一元二次方程的根配方法求根公式掌握选择适当的方法求一元二次方程的根，会用判别式、根与系数的关系解决相关问题一元二次方程的判别式讨论根的个数掌握一元二次方程根与系数的关系探究发现理解二、预习指导1．预习目标(1)如何求一元二次方程的根；(2)判别式对方程根的影响(Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0)；(3)一元二次方程求根公式的形式及其应用；(4)一元二次方程的根与系数的关系．2．预习提纲(1)一元二次方程的根我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，用配方法可以将其变形为ax

2、2＋bx＝－c_________________．★因为a≠0，所以，4a2＞0．于是①当b2－4ac＞0时，方程★的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝；②当b2－4ac＝0时，方程★的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；③当b2－4ac＜0时，方程★的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通

3、常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；③当Δ＜0时，方程没有实数根．(2)一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，，则有_______________；________________．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝_________，x1·x2＝___

4、__________．这一关系也被称为“韦达定理”．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0的根．因此以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．3

5、．典型例题例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根．(1)x2－3x＋3＝0；(2)x2－ax－1＝0；(3)x2－ax＋(a－1)＝0；(4)x2－2x＋a＝0．分析：一元二次方程的根的情况取决于它的判别式Δ．在第(3)，(4)小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，因此在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论．解：(1)∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．(2)该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根，

6、．(3)解法一：由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以，①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；②当a≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．解法二：∴当a＝2时x1＝x2＝1；当a≠2时x1＝1，x2＝a－1(4)由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以,①当Δ＞0，即4(1－a)＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根，；②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；③当Δ＜0

7、，即a＞1时，方程没有实数根．点评：在第(3)(4)小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．例2已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求

8、出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．解：解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．解法二：设方程的另一