高中数学 专题1.3.2 函数的极值与导数教案 新人教A版选修.doc

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1、函数的极值与导数【教学目标】1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．【教法指导】本节学习重点：掌握函数极值的判定及求法．本节学习难点：掌握函数在某一点取得极值的条件．【教学过程】☆复习引入☆在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出

2、这些值？这就是本节我们要研究的主要内容．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一　函数的极值与导数的关系思考1　如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？结论　思考1中点d叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y＝f(x)的极小值；点e叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(e)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小

3、值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．思考2　函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？答　函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．思考3　若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．答　可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)的符号不同．例如，函数f(x)＝x3可导

4、，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但由于当x<0和x>0时均有f′(x)>0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．思考4　函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值点．【答案】　1例1　求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值．解　f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)>0，得x<－2或x>2；由f′(x)<0，得－2

5、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增单调递减－单调递增由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝；当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.反思与感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这

6、个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．跟踪训练1　求函数f(x)＝＋3lnx的极值．解　函数f(x)＝＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减3单调递增因此，当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.探究点二　利用函数极值确定参数的值思考　已知函数的极值，如何确定函数

7、解析式中的参数？例2　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．解　因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以即解之得或当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因

8、此a＝2，b＝9.反思与感悟　(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．跟踪训练2　设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．解　(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，∴f′(x)＝＋2bx＋1.由极值点的必要