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《高中数学 专题3.4 基本不等式(讲)(提升版)新人教A版必修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.4基本不等式☆学习目标☆☆学习重点☆1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题；2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式；☆学习难点☆1.会求给定条件的最值问题；2.能证明一些简单的不等式.☆基础回扣☆1．基本不等式
(1)基本不等式成立的条件：__________.
(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号．2.基本不等式常用变形： (1)(a，b∈R)．(2)(a，b同号)．
(3）(a，b∈R)．(4)(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数:设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为______，几何平均数为___
2、___，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4.利用基本不等式求最值问题:已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当__________时，x＋y有最小值是______.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当______时，xy有最大值是______.(简记：和定积最大)1、；2、；3、；4、☆问题探讨与解题研究☆类型一求含有两个变量的最值问题例1.(1)若x>-3，则x+的最小值为_______.(2)已知a，b为正实数且a+b=1，则(1+)(1+)的最小值为___.【解题指南】(1)将原式等价
3、变形构造出应用基本不等式形式可解.(2)将与中的1用a+b代换整理后利用基本不等式可求.【解析】(1)由x>-3得x+3>0,又x+=x+3+-3≥-3，等号成立的条件是x+3=,即x=-3.(2)∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+=1+=2+,同理1+=2+,∴(1+)(1+)=(2+)(2+)=5+2(+)≥5+4=9,等号成立的条件为a=b=.【练习】已知x＞0,y＞0,且xy=4x+y+12,求xy的最小值.【小结】求条件最值的策略求条件最值是基本不等式的一个重要应用.应用基本不等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解
4、题的关键；②必须指出等号成立的条件.类型二、利用基本不等式证明简单的不等式例1、已知a>0,b>0,a+b=1,求证：。练习：(1)证明不等式：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd；(2)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋≥4.证明：(1)a4＋b4＋c4＋d4≥2a2b2＋2c2d2＝2(a2b2＋c2d2)≥2·2abcd＝4abcd.原不等式得证．(2)∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4.∴＋≥4.所以原不等式成立．【小结】利用基本不等式证明其他不等式的两个思路(1)利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能
5、直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的条件；(2)若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有1时，要注意1的代换.另外，解题中要时刻注意等号能否取到.类型二、利用基本不等式解决恒成立问题例1、若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是______．【小结】当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．【练习】已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是__________．☆课堂
6、检测☆1.若正数a，b满足，则a+b的最小值是()
(A)(B)(C)(D)2．(2013·梅州模拟)设x，y均为正实数，且＋＝，则xy的最小值为__________．解析：＋＝可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.3、已知a>0,b>0，若不等式恒成立，则m的最大值等于()
(A)10(B)9(C)8(D)7下列结论中正确的是()
(A)若a>0,则(B)若x>0,则
(C)若a+b=1,则(D)若a+b=1,则☆课堂小结☆1、应用基本不等式
7、求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键；②必须指出等号成立的条件.2、利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的条件；☆课后作业☆课本p101页习题3.4B组1、2
