高中数学 专题3.1 不等关系与不等式(讲)(提升版)新人教A版必修.doc

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1、专题3.1不等关系与不等式☆学习目标☆1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系，掌握用不等式(组)表示实际问题中的不等关系的方法。2.掌握不等式的有关性质。3.会利用不等式的性质比较两个数或代数式的大小；会利用不等式的性质证明简单的不等式。☆学习重点☆1.熟练掌握不等式的性质，并会正确理解和应用；2.对含参数的不等式，要把握分类讨论的标准和技巧．☆学习难点☆1.合理正确地应用不等式性质比较大小、求代数式的范围。2.对含参数的不等式，要把握分类讨论的标准和技巧．☆基础回扣☆1．比较两个实数大小的法则若a，b∈R，则(1)a＞b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0；

2、(3)a＜b⇔a－b＜0.2．不等式的基本性质(1)a＞b⇔b＜a；(2)a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)a＞b⇔a＋c＞b＋c；(4)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；(5)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(6)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(7)a＞b＞0⇒(n∈N，且n≥2)；(8)a＞b＞0⇒(n∈N，且n≥2)．3．不等式的一些常用性质（1）a＞b，ab＞0⇒＜.（2）a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞.（3）0＜a＜x＜b，或a＜x＜b＜0⇒＜＜.☆问题探讨与解题研究☆类型一：用不等式(组)表示不等关系【例1】例1某人上午7时乘摩托艇以

3、v海里/h(4≤v≤20)的速度从A港匀速出发，向距A港50海里的B港驶去，到达B港后马上乘汽车以wkm/h(30≤w≤100)的速度从B港匀速出发，向距B港300km的C市驶去，应在同一天下午4时至9时到达C市，试表示关于时间的不等关系．【解】　设汽车用xh，摩托艇用yh，由题意，得【名师点评】　用不等式表示实际问题中的不等关系时，应首先读懂题意，设出未知量，寻找不等关系的根源，将不等关系用未知量表示出来，即得到不等式或不等式组，这是应用不等式解决实际问题的最基本的一步．【练习】1．(1)一桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使货车总重量

4、T不超过40吨，用不等式表示为________．(2)某火腿肠的质量检查规定，每100克火腿肠中，淀粉含量d不能超过20克，防腐剂f含量不能超过0.5克．用不等式组表示为________．答案：(1)T≤40　(2)类型二、比较大小【例2】已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．【解】　(x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1).∵x<1，∴x－1<0，又2＋>0.∴(x－1)<0，∴x3－1<2x2－2x.【练习】比较3－m＋1与2＋m－3的大小．【小结】作差法比较大小的方法步骤①作差：

5、有的可直接作差，有的需转化后才可作差；②变形：目的是判断差的符号，通常进行通分、因式分解、配方、分子(分母)有理化等变形，有时还要根据字母取值范围进行讨论以判断差的符号；③定号：若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a

6、须保证同向相加．本题也可用线性规划的方法求解．【练习】设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.解　法一　设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得解得∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法二　由得∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5

7、≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.类型四：不等式的性质及其应用【例4】设a>b>1,c<0，给出下列三个结论：①；②ac＜bc；③logb(a-c)>loga(b-c)，则所有的正确结论的序号是()(A)①(B)①②(C)②③(D)①②③【分析】可直接利用不等式的性质以及幂函数和对数函数的单调性进行比较，也可以采用特殊值方法进行比较.【解析】由不等式a>b>1知，又c<0，所以，①正确；根据幂函数y=xc在(0，+∞)上的单调性知②正确；由a>b>1，c<0知a-c>b-c>1-c>1，由对数函数的图象与单调性知③正确.故选D.【小结】涉及