高中数学 几何变换与矩阵 2.4 逆变换与逆矩阵章末分层突破学案 苏教版选修.doc

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1、2.4逆变换与逆矩阵一、求逆矩阵求逆矩阵是逆变换与逆矩阵的重点内容，其方法有两种：法一：用代数方法：即待定矩阵法和行列式法求解；法二：从几何变换的角度求解.　已知矩阵A＝，B＝，求(AB)－1.【导学号：】【解】　法一　∵AB＝＝＝，∴det(AB)＝＝11－130＝－119.∴(AB)－1＝.法二　∵A＝，∴det(A)＝＝12＋5＝17，A－1＝；又∵B＝，∴det(B)＝＝－1－6＝－7.∴B－1＝.∴(AB)－1＝B－1A－1＝＝＝.二、二元一次方程组的解的情况的判定及求解方法1.二元一次方

2、程组的解的情况的判定.常用两种方法：法一：利用det(A)与0的大小情况判定.法二：从几何变换的角度判定.2.二元一次方程组的求解常用两种方法：(1)用行列式法求解记D＝，Dx＝，Dy＝，于是方程组的解为(2)用逆矩阵法求解写出系数矩阵A＝，则det(A)＝ad－bc，若det(A)＝0，判定方程组解的情况；若det(A)≠0，方程组有惟一解，求出A－1＝，令＝A－1，则即为方程组的解.　解二元一次方程组：【解】　法一　方程组可写为＝.因为＝1×3－1×2＝1≠0，所以方程组有惟一解.利用矩阵求逆公

3、式得＝.所以原方程组的解为＝＝＝，即法二　记D＝＝1×3－1×2＝1≠0，Dx＝＝7×3－6×1＝15，Dy＝＝1×6－2×7＝－8.∴方程组的解为三、函数方程思想本章中求矩阵的逆矩阵及解二元一次方程体现了函数方程思想的广泛应用.　已知A＝，求A－1.【解】　法一　设A－1＝，则＝，即＝，故解得x＝，y＝，z＝－，w＝，故A－1＝.法二　矩阵A表示的变换为线性变换，且→满足条件所以所以逆矩阵A－1＝.章末综合检测(四)1.求下列矩阵的逆矩阵.(1)A＝；(2)B＝.【解】　法一　(1)∵

4、A

5、＝1×

6、3－2＝1，∴A－1＝.(2)∵2×5－4×3＝－2，∴B－1＝.法二　(1)设A－1＝，则AA－1＝E，即＝＝，∴∴∴A－1＝.同理求出B－1＝.2.试从代数和几何角度分别求矩阵的乘积的逆矩阵.【导学号：】【解】　代数角度：＝，＝－1，∴＝，∴()－1＝.几何角度：矩阵对应的变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例增加，即(x，y)→(x＋2y，y)，又切变变换的逆变换为切变变换.∴该切变变换的逆变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例减小，即(x，y)→(x－2y，y)，故＝.矩阵对应的变换为关于直线y

7、＝x的反射变换，其逆变换为其本身，故＝.∴()－1＝＝＝.3.已知A＝，求A－1.【解】　＝，＝，∴A－1＝＝＝.4.用矩阵方法求二元一次方程组的解.【解】　方程组可写为：＝，令M＝，则det(M)＝2×1－3×(－5)＝17，∴M－1＝，所以＝M－1＝，即方程组的解为5.设A＝，B＝.(1)计算det(A)，det(B)；(2)判断矩阵AB是否可逆，若可逆，求其逆矩阵，若不可逆，说明理由.【解】(1)det(A)＝1×3－2×(－2)＝7，det(B)＝1×4－2×2＝0.(2)矩阵AB不可逆.理

8、由如下：AB＝＝，det(AB)＝0，∴AB不可逆.6.(福建高考)已知矩阵A＝，B＝.求矩阵C，使得AC＝B.【导学号：】【解】　由AC＝B，得(A－1A)C＝A－1B，故C＝A－1B＝＝.7.已知矩阵M＝所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13，5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标.【解】　依题意，得det(M)＝＝2×(－1)－1×(－3)＝1，故M－1＝，从而由＝，得＝M－1＝＝＝，故即A(2，－3)为所求.8.m为何值时，二元一次方程组＝m有惟一解？【解】　二元一次方程组即为即即＝.∵

9、＝(－1－2m)(m＋3)＋2(7－m)＝－2m2－9m＋11，令－2m2－9m＋11＝0，得m＝1或m＝－，∴当m≠1或m≠－时，方程组有惟一解.9.已知A＝，B＝，求圆x2＋y2＝1在(AB)－1变换作用下的图形的方程.【解】　(AB)－1＝B－1A－1＝＝＝.设圆x2＋y2＝1上任一点P′(x′，y′)在(AB)－1作用下的点为P(x，y)，则＝，即＝＝，所以因为点P′(x′，y′)在圆x2＋y2＝1上，所以＋＝1，化简得4x2＋y2＝1.10.设a，b∈R，若矩阵A＝，把直线l：2x＋y－7

10、＝0变换为另一直线l′：9x＋y－91＝0，求矩阵A的逆矩阵.【导学号：】【解】　设P(x，y)为直线2x＋y－7＝0上任意一点，则其对应点P′(x′，y′)，且满足＝＝，即∵P′在直线l′：9x＋y－91＝0上，∴9ax－x＋by－91＝0，即(9a－1)x＋by－91＝0.∵＝＝＝13，∴b＝13，a＝3，∴A＝.∵det(A)＝13×3－(－1)×0＝39，∴A－1＝＝.