高中数学 几何变换与矩阵 2.2 几种常见的平面变换章末分层突破学案 苏教版选修.doc

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1、2.2几种常见的平面变换章末分层突破本章在高考中主要考查对六种特殊变换的理解，以及在六种变换前后的点的坐标及曲线方程的求法，掌握六种特殊变换的特点.一、求在某种变换作用下得到的图形(表达式)求在某种变换作用下所得到的图形(表达式)是考查变换知识的热点题型，通常用代入法(相关点法)求解.　下列所给的矩阵将给定的图形变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变换？(1)，点A(2，1)；(2)，直线y＝2x＋2.【解】　(1)矩阵对应的坐标变换公式为把A(2，1)代入即得A的对应点为A′(1，－2)，该变换把列向量＝按顺时

2、针方向旋转90°.故该变换为旋转变换，如图所示.(2)设直线y＝2x＋2上任意一点P(x，y)按矩阵所表示的坐标变换对应的点为P′(x′，y′)，则＝＝，即∴代入y＝2x＋2，得－y′＝2x′＋2，即直线y＝2x＋2经过变换得到的图形为直线y＝－2x－2，如图所示，此变换为关于x轴的反射变换.二、求变换矩阵根据变换的结果求变换矩阵的一般方法：找到前后点的坐标间的关系，由点的坐标间的关系即可求出变换矩阵.　求把△ABC变换成△A′B′C′的变换对应的矩阵，其中A(－2，1)，B(0，1)，C(0，－1)；A′(－2，

3、－3)，B′(0，1)，C′(0，－1).【解】　设变换对应的矩阵为，由已知，得＝，＝，＝，即即∴变换对应的矩阵为.三、函数方程思想本章求矩阵变换下曲线的方程广泛应用了函数方程思想.　试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换.(1)，图形的方程为：x2＋y2＝4；(2)，图形的方程为：y＝－2x＋6.【解】　(1)所给方程表示的是以原点为圆心，2为半径的圆.设A(x，y)为曲线上的任意一点，经过变换后的点为A1(x1，y1)，则＝＝，∴2x＝x1，y＝y1，即x＝，y＝y1将其代入x2＋y2＝

4、4可得到方程＋y＝4，此方程表示椭圆.所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换.(2)所给方程表示的是一条直线.设A(x，y)为直线上的任意一点，经过变换后的点为A1(x1，y1).∵＝＝，∴x1＝0，y1＝2x＋y.又由y＝－2x＋6得2x＋y＝6，∴A1(0，6)为定点.通过变换将一条直线变为一点，该变换是投影变换.　如图226所示，对反比例函数图象C：y＝经过旋转变换将其方程改写为标准形式.图226【解】　设P(x，y)为曲线C上任意一点，它在变换T作用下的象P′(x′，y′)，其中变换矩阵为＝，则解得故xy＝＝

5、4，y′2－x′2＝8，因此旋转后的方程为－＝1.章末综合检测(二)1.当k>0时，你能猜想表示的变换吗？并对你的猜想作出证明.【解】　猜想表示的变换是将平面图形作沿y轴方向伸长(k>1)或压缩(0

6、(5，6)，求矩阵将直线l变成了什么图形？并写出方程.【解】　由已知得直线l的方程为3x＋5y－45＝0，设P(x，y)为l上的任意一点，点P在矩阵对应的变换下对应点P′(x′，y′).则＝＝，∴∴代入3x＋5y－45＝0，得3x′＋25y′－45＝0，∴直线l变换成直线3x＋25y－45＝0.4.求直线y＝2x在矩阵确定的变换作用下得到的图形的表达式.【解】　设点(x，y)为直线y＝2x上的任意一点，其在矩阵确定的变换作用下得到的点为(x′，y′)，则→＝＝，即所以将其代入y＝2x，并整理得2x′－7y′＝0，所

7、以直线y＝2x在矩阵确定的变换作用下得到的图形的表达式是2x－7y＝0.5.切变变换矩阵把直线x＋y＝1变成什么几何图形？【解】　设P(x，y)在该变换下的象为P′(x′，y′)，则＝＝＝，故所以切变变换矩阵把直线x＋y＝1变成与y轴平行的直线x＝1.6.若曲线x2＋4xy＋2y2＝1在矩阵M＝的作用下变换成曲线x2－2y2＝1，求a，b的值.【解】　设(x，y)为曲线x2＋4xy＋2y2＝1上的任意一点，其在矩阵M的作用下变换成点(x′，y′)，则(x′，y′)在曲线x2－2y2＝1上，＝＝，即将其代入x2－2y

8、2＝1，并整理，得(1－2b2)x2＋(2a－4b)·xy＋(a2－2)y2＝1，比较系数得解得7.点(2，2x)在旋转变换矩阵的作用下得到点(y，4)，求x，y，m，n.【导学号：】【解】　因为矩阵是旋转变换矩阵，所以m＝－，n＝.由题意知＝，所以解得8.二阶矩阵M对应的变换T将点(1，－1)，(－2，1)均变为点(1，1).(1)求矩阵M；(2)直线l：