高中数学 几何变换与矩阵 2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法学案 苏教版选修.doc

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1、2.1.2　二阶矩阵与平面列向量的乘法1.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则.2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射.[基础·初探]1.行矩阵与列矩阵的乘法规则＝.2.二阶矩阵与列向量的乘法规则＝.3.平面向量的变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，按照对应法则T，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为：T：(x，y)→(x′，y′)或T：→.4.由二阶矩阵与平面列向量的乘积确定的平面向量的变换一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为T：→＝，那么根据二阶矩阵与列向

2、量的乘法规则可以改写为T：→＝的矩阵形式，反之亦然(a，b，c，d∈R).由矩阵M确定的变换T，通常记作TM.根据变换的定义，它是平面内点集到其自身的一个映射.当α＝表示某个平面图形F上的任意一点时，这些点就组成了图形F，它在TM的作用下，将得到一个新的图形F′——原象集F的象集F′.[思考·探究]1.二阶矩阵与平面列向量乘法的作用是什么？【提示】　由二阶矩阵与平面列向量的乘法规则知：二阶矩阵与平面列向量乘法的作用是把向量变成了另一个向量2.二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义是什么？【提示】　由本节的知识点知，一个二阶矩阵

3、可以看作一个特定的平面上的几何变换，它将变换前的列向量表示平面上的点P(x，y)，变成另一个列向量表示的新的点P′(ax＋by，cx＋dy).反过来，现有平面上的一个变换T：→，如果＝，即变换后的点的横坐标及纵坐标均可由原向量(点)的坐标表示出来，这时变换T应为矩阵.3.矩阵与列向量的乘法的几何意义与函数的概念有何区别？【提示】　由二阶矩阵与平面列向量的乘法法则可以看出，其几何意义在于它对应着平面上点与点之间的某种几何变换，这与以前所学的函数的概念有所区别.函数是建立在数集上的对应，而由矩阵所确定的变换是建立在平面内点集到

4、其自身的一个映射.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　疑问2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　疑问3：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

5、　　　　　　　　　　　　　　　　　二阶矩阵与平面列向量的乘法运算　计算(1)；(2)；(3)；(4).【精彩点拨】　根据矩阵与向量的乘法规则运算.【自主解答】　(1)＝＝.(2)＝＝.(3)＝＝.(4)＝＝.二阶矩阵与平面列向量的乘法运算，按照其乘法规则＝进行.本例中(1)(2)(3)运算结果所表示的几何意义是什么？【解】　(1)在矩阵作用下，列向量变成，此时点P(5，7)变成了关于x轴对称的点P′(5，－7).(2)在矩阵作用下，列向量保持不变.(3)在矩阵作用下，列向量变成了向量.矩阵的变换　(1)已知变换→＝，试将它

6、写成坐标变换的形式；(2)已知变换→＝，试将它写成矩阵的乘法形式.【导学号：】【精彩点拨】　(1)根据矩阵与列向量乘法规则运算即得；(2)关键找到将2x－3y及y用x，y表示出来的系数a，b，c，d.【自主解答】　(1)根据矩阵与列向量的乘法规则，得→＝.(2)由＝＝＝得：→＝.1.将矩阵的乘法形式的变换写成坐标变换的形式，只需根据矩阵与列向量的乘法规则将矩阵的乘法进行运算即可.2.将坐标变换的形式写成矩阵的乘法形式，关键是找到矩阵，使＝.已知变换→＝，试将它写成矩阵的乘法形式.【解】　由＝＝＝得：→＝.在二阶矩阵对应的变

7、换作用下点的坐标的确定与应用　已知变换T：平面上的点P(2，－1)，Q(－1，2)分别变换成P1(5，－6)，Q1(2，0)，求变换矩阵A.【精彩点拨】　由题意可知，变换矩阵A为二阶矩阵，根据二阶矩阵与列向量的乘法可列出方程组，解方程组可求出二阶矩阵中的各元素.【自主解答】　设所求的变换矩阵A＝，依题意，可得＝，＝，所以解得故所求的变换矩阵A＝.1.设出所求的变换矩阵，将坐标变换写成矩阵的乘法的形式.2.根据矩阵的乘法列出方程组求出各元素，即得所求矩阵.如果矩阵把点A变成点A′(3，2)，求点A的坐标.【解】　设变换T：→

8、＝，即解得所以点A的坐标为(1，1).[真题链接赏析]　(教材第11页习题第7题)设点P(a，b)(a，b∈R)在矩阵对应的变换作用下得到点P′，求点P′的坐标.　(福建高考)已知直线：l：ax＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.(1)求实数a，b的值；(2)若点P(x0，y0