高中数学 几何变换与矩阵 2.5 特征值与特征向量学案 苏教版选修.doc

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1、2.5特征值与特征向量1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义.2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形).3.利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα的简单表示，并能用它来解决问题.[基础·初探]1.特征值与特征向量的定义设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量.2.特征多项式的定义设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式

2、.3.特征值与特征向量的计算设λ是二阶矩阵A＝的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为：第一步：令矩阵A的特征多项式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0，求出λ的值.第二步：将λ的值代入二元一次方程组得到一组非零解，于是非零向量即为矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量.4.Anα(n∈N*)的简单表示(1)设二阶矩阵A＝，α是矩阵A的属于特征值λ的任意一个特征向量，则Anα＝λnα(n∈N*).(2)设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，α，β是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设

3、γ＝t1α＋t2β(其中t1，t2为实数)，则Anγ＝t1λα＋t2λβ(n∈N*).[思考·探究]1.特征值与特征向量的几何意义如何？【提示】　从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量.2.特征值与特征向量有怎样的对应关系？【提示】　如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t后所得的新向量tα与向量α共线，故tα也是属于λ的特征向量.因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征

4、向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了.3.如何求矩阵A幂的作用结果？【提示】　由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　疑问2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

5、　　　　　疑问3：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　特征值与特征向量的计算与应用　(1)求矩阵A＝的特征值和特征向量；(2)判断矩阵A是否存在特征值和特征向量.A＝.【精彩点拨】　→→→【自主解答】　(1)矩阵A的特征多项式为：f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2).令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝2.将λ1＝1代入二元一次方程组解得y＝0，x可以为任何非零实数，不妨记x＝k，k∈R，且k≠0.于是矩阵A的属于特征

6、值1的一个特征向量为.将λ2＝2代入二元一次方程组解得x＝0，y可以为任何非零实数，不妨记y＝m，m∈R，且m≠0.于是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量为.因此，矩阵A＝的特征值为1和2，分别对应的一个特征向量是，.(2)特征矩阵为，特征多项式为(λ－1)2＋1.显然(λ－1)2＋1＝0无实根，因此，A没有实特征值，没有实特征向量.1.求矩阵A的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式f(λ)，再由f(λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A所确定的二元一次方程组即可求出特征向量.2.根据矩阵A的特征值与特征向量求矩

7、阵A的一般思路：设A＝，根据Aα＝λα构建a，b，c，d的方程求解.(1)若将本例(1)中A变为，则其特征值与特征向量如何求？(2)求矩阵A＝的特征值和特征向量.【导学号：】【解】　(1)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝.令f(λ)＝0，即λ2－5λ－24＝0.由此得到的两个根分别为λ1＝8，λ2＝－3，即λ1＝8，λ2＝－3为矩阵A的两个不相等的特征值.将λ1＝8代入二元一次方程组①即得5x＝6y.它有无穷多个非零解，其中x≠0，我们任取一个，如，它是属于特征值λ＝8的一个特征向量.类似地，对于λ2＝－3，代入二元一次方程组①，则有即它

8、有无穷多个非零解，其中x≠0，我们任取一个，如，它是属于特征值λ＝－3的一个特征向量.(2)特征矩阵为，矩阵的方程组是解之得y＝－3x，(x，y)＝(t，－3t)，t为任意实数，当t≠0时，是特征向量.将λ