高中数学 抛物线同步精品学案 新人教A版选修.doc

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1、§2.4　抛物线典例剖析　知识点一　抛物线概念的应用　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求

2、PA

3、＋

4、PF

5、的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．解　将x=3代入抛物线方程y2=2x，得y=±.>2，∴点A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x=的距离为d，由定义知

6、PA

7、+

8、PF

9、=

10、PA

11、+d，当PA⊥l时，

12、PA

13、+d最小，最小值为，即

14、PA

15、+

16、PF

17、的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，∴点P坐标为(2,2)．知识点二　求抛物线的标准方程　求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y

18、－4＝0上．分析　设出抛物线的标准形式，依据条件求出p的值．解　(1)设抛物线标准方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，则将点(－3,2)代入方程得2p＝，或2p＝，故抛物线的标准方程为y2＝－x，或x2＝y.(2)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0，得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py，则由＝2，得2p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0)．设抛物线方程为y2＝2px，由＝4，得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.知识点三　抛物线在实际中的应用　汽车前灯反射镜与轴截面

19、的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？分析　确定抛物线方程，求出抛物线的焦点到其顶点的距离解　取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示．因灯口直径

20、AB

21、=24.灯深

22、OP

23、=10，所以点A的坐标是(10,12)．设抛物线的方程为y2=2px(p>0)．由点A(10,12)在抛物线上，得122=2p×10，∴p=7.2.抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0)．因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6cm.知识点四　抛物

24、线几何性质的简单应用　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程．分析　先确定抛物线方程的形式，再依条件求待定参数．解　椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，得抛物线的对称轴为x轴．设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则有

25、

26、＝3，∴

27、a

28、＝12，即a＝±12.故所求抛物线方程为y2＝12x，或y2＝－12x.知识点五　直线与抛物线　已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且

29、AB

30、＝p，求AB所在的直线方程．解　焦点F(，0)，设A(x1，y1)、B(x2，

31、y2)，若AB⊥Ox，则

32、AB

33、＝2p

34、AB

35、＝＝＝·＝2p(1＋)＝p.解得k＝±2.∴AB所在直线方程为y＝2(x－)，或y＝－2(x－)．知识点六　抛物线的焦点弦问题　AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN⊥l，N为垂足．求证：(1)AN⊥BN；(2)FN⊥AB；(3)若MN交抛物线于Q，则Q平分MN.证明　(1)作AC⊥l，垂足为C，作BD⊥l，垂足为D，在直

36、角梯形ABDC中，∵

37、AF

38、=

39、AC

40、，

41、BF

42、=

43、BD

44、，∴

45、MN

46、=(

47、AC

48、+

49、BD

50、)=(

51、AF

52、+

53、BF

54、)=

55、AB

56、，由平面几何知识可知△ANB是直角三角形，即AN⊥BN.(2)∵

57、AM

58、=

59、NM

60、，∴∠MAN=∠MNA，∵AC∥MN，∴∠CAN=∠MNA，∴∠MAN=∠CAN.在△ACN和△AFN中，

61、AN

62、=

63、AN

64、，

65、AC

66、=

67、AF

68、，且∠CAN=∠FAN，∴△ACN≌△AFN，∴∠NFA=∠NCA=90°，即FN⊥AB.(3)在Rt△MNF中，连结QF，由抛物线的定义及(2)的结论得

69、QN

70、=

71、QF

72、⇒∠QNF=∠QFN，且∠QFN=90°∠QFM，∠QMF=90°∠QN

73、F，∴∠QFM=∠QMF，∴

74、QF

75、=

76、QM

77、，∴

78、QN

79、=

80、QM

81、，即Q平分MN.知识点七　抛物线的综合问题　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A、B两点，设△AOB的面积为S(O为原点)．(1)用θ、p表示S；(2)求S的最小值；当最小值为4时，求抛物线的方程．解　(1)设直线y＝k，代入y2＝2px，得y2＝2p，即y2－y－p2＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－p2.∴